Matematica finanziaria - argomenti fondamentali

Capitolo 3

L’ammortamento di tipo italiano ( o uniforme) prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito

all’epoca iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento di importo variabile alle varie

scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo. C =S/n D =S(n-k)/n E = k*S/n

k k k

L’ammortamento francese (o progressivo o a rata costante) prevede che, a fronte del capitale S

preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda n rate posticipate di ammortamento alle

varie scadenze, in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R. l’importo R è determinato

in base al principio di equivalenza finanziaria, ovvero mediante l’uguaglianza dei valori attuali

S=R a ┐ C =C (1+i)

n i k+1 k

L’ammortamento americano è un’operazione finanziaria composita nella quale figurano:

- un’operazione di rimborso globale con interessi periodici calcolati al tasso periodale i,

- una distinta operazione di costituzione di capitale che, tramite versamenti complementari Q,

consenta all’epoca n, scadenza del prestito, di poter disporre di un capitale di importo pari

all’ammontare S del prestito. Questa operazione si regola sulla base del tasso i’, solitamente

inferiore a i.

Spiegare le condizioni di chiusura elementare e di chiusura finanziaria di un piano di rimborso

Condizione di chiusura elementare del piano di rimborso: la somma delle quote capitale è uguale al

capitale preso a prestito S.

Condizione di chiusura finanziaria del piano di rimborso(o condizione di equità): la somma dei

valori attuali delle rate è uguale al capitale preso a prestito S.

Capitolo 4

Criterio del VAN (o REA): Fissato un tasso di valutazione i, si dice risultato economico attualizzato

di un’operazione finanziaria il valore attuale dei suoi flussi di cassa. Indicando con C gli importi

k

dei flussi di cassa derivanti dall’operazione finanziaria P, non tutti uguali a 0, e con t le relative

k

scadenze (k= 0,1,2,….n), la funzione che esprime il REA di un dato progetto finanziario al variare

del tasso di valutazione i, sarà: V(i)= ∑ k=0 a n C g(t )

k k

Criterio del payback: rappresenta il tempo necessario affinché si possa recuperare integralmente il

capitale impiegato.

Criterio del TIR: data un’operazione finanziaria si dice tasso interno di rendimento (TIR)

dell’operazione stessa quel tasso di valutazione i (i>-1) in corrispondenza del quale il valore attuale

dei suoi flussi di cassa si annulla.

definire lo yield to maturity di un’obbligazione. Si definisce tasso di rendimento interno (o yield to

maturity) quel tasso y che realizza l’uguaglianza tra il prezzo d’acquisto dell’obbligazione all’epoca

t, Pt, e la somma dei valori attuali di tutte le sue prestazioni future.

Capitolo 5

Si definiscono tassi a pronti i tassi di interesse che il mercato finanziario adotta a una determinata

epoca t per valutare prestazioni finanziarie certe esigibili alle scadenze future T. questi tassi sono

univocamente determinati se il mercato è tale da non consentire arbitraggi.

Si definiscono tassi forward(o tassi a termine) i tassi d’interesse implicati dai tassi spot per periodi

di tempo nel futuro. I tassi forward sono degli strumenti di valorizzazione dei contratti differiti nel

tempo. Il tasso forward indica il tasso di interesse che il mercato ritiene debba manifestarsi tra s

periodi per impegni che si protrarranno per ulteriori p periodi.

Quali tassi di rendimento vengono utilizzati per valutare un titolo, rispettivamente ex-ante ed ex-

post? Valutazione ex post viene fatta con il tasso di rendimento realizzato (holding period yield): r

= (Ps-Pt)/pt ;mentre la valutazione ex ante viene fatta con il tasso di rendimento interno(yield to

(th-t)

maturity): Pt= ∑delle h Ch/(1+y) .

Definire cosa si intende con struttura per scadenza (a termine) dei tassi di interesse.

Si definisce struttura per scadenza dei tassi di rendimento la successione {R |k =1,2,….}. la

k

struttura per scadenza descrive completamente il mercato al tempo t e quindi rappresenta

compiutamente la valutazione di non arbitraggio che il mercato esprime ad un certo istante t per

investimenti finanziari che iniziano alla data corrente t e a scadenza qualsiasi.

La duration è la durata media finanziaria della rendita le cui rate costituiscono i flussi di cassa

dell’obbligazione. La duration esprime anche l’elasticità del prezzo rispetto al fattore di montante

(1+y)

Slide mate attuariale

Si definiscano il tasso annuo di sopravvivenza e il tasso annuo di mortalità.

Tasso annuo di sopravvivenza: probabilità di una testa di età x di essere in vita fra un anno all’età

x+1: p = p = l / l

x 1 x x+1 x

Tasso annuo di mortalità: probabilità di una testa di età x di morire entro un anno tra l’età x e l’età

x+1: q = q = 1- p = (l – l ) /l

x 1 x 1 x x x+1 x

(

)

Illustrare come si ricava il premio unico puro in un contratto di assicurazione elementare caso vita

n

U= C* nEx=C*v * p dove nEx è il fattore di sconto attuariale

n x

Illustrare come si ricava il premio unico puro in un contratto di assicurazione elementare caso morte

La compagnia assicuratrice si impegna a versare un capitale unitario al beneficiario fra (k+1) anni

se la morte dell’assicurato avverrà nell’intervallo temporale (k; k+1) dalla stipulazione del contratto.

U = C* A dove A è il premio unico unitario

k/1 x k/1 x

Illustrare il fattore di sconto attuariale e confrontarlo con il fattore di sconto finanziario.

Il fattore di sconto attuariale è il premio che il contraente deve pagare all’assicurazione affinché

questa paghi 1 € al beneficiario se l’assicurato è ancora in vita all’età x+n.

Enunciare il principio di composizione dei contratti. Il valore attuale di un contratto composto di

contratti elementari è la somma dei valori attuali dei contratti elementari nell’ipotesi che le

prestazioni siano equivalenti.

il candidato definisca p

n x.

p è la probabilità che un individuo di età x sia ancora in vita all’età x+n

n x

Definire cosa si intende con riserva matematica. La riserva matematica è l'importo che deve essere

accantonato dalla compagnia assicurativa per far fronte agli obblighi futuri assunti verso gli

assicurati.

la probabilità di una testa di età x di sopravvivere all’età x+t è:

La probabilità di morte entro t anni per una testa di età x è:

La probabilità di una testa di età x di essere in vita all’età x+z+t è:

La probabilità di una testa di età x di morire nell’intervallo temporale [x+z; x+z+t] è: