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Capitolo 1

Illustrare, a parità di tasso e di tempo, la relazione fra il fattore di capitalizzazione e il fattore di

attualizzazione, nel regime di capitalizzazione composta.

t

G(t) = 1/f(t) = 1/(1+i)

Descrivere il concetto di tassi equivalenti.

Due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono ad una data futura t e a parità di capitale

impiegato, lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi

Esplicitare le condizioni che devono essere rispettate da una generica funzione per poter essere

considerata un fattore di montante, sottolineando il significato finanziario di tali condizioni

f(t) è fattore di montante se:

- f(t) è definita per ogni t>=o

- f(0) =1

- f’(t)>= 0 nel dominio

Dimostrare la relazione esistente tra il tasso unitario di interesse i e il tasso unitario di sconto d

i = d/(1-d) dove d = 1- 1/f(1)

Siano i e y i tassi unitari di interesse rispettivamente in capitalizzazione composta e in

capitalizzazione semplice. Indicare la relazione matematica che ne esprime l’equivalenza.

t t

i = 1/t *[(1+y) -1] e y = √(1+it) – 1

i = f(t)-1 tasso di interesse

d = 1- 1/f(t) tasso di sconto

i(1) = f(1) – 1 tasso unitario di interesse

d(1)= 1- 1/f(1) tasso unitario di sconto

capitalizzazione: operazione che comporti il differimento di una disponibilità monetaria immediata.

Attualizzazione: consente di stabilire oggi il valore attuale di un capitale con scadenza futura, cioè

di anticiparne la disponibilità. t n f

Tempi non interi:convenzione esponenziale: M(t) = C(1+i) = C(1+i) (1+i)

il candidato illustri, a parità di capitale investito e di durata, la relazione esistente tra i tassi effettivi

annui e i tassi periodali nel regime della capitalizzazione composta

k k

i =(1+i ) – 1 e i = √ (1+i)-1

k k

Completare l’enunciato del seguente teorema: una legge di capitalizzazione è scindibile se e solo se

il montante di un capitale C, impiegato fino a t ad un tasso assegnato i, non varia se l’impiego viene

interrotto in t1, con 0<t1<t e il montante ottenuto in t1 viene immediatamente reimpiegato alle

stesse condizioni per il tempo rimanente t-t1. matematicamente una legge di capitalizzazione è

scindibile se il corrispondente fattore di montante soddisfa la seguente relazione :

f(t) = f (t1)f (t-t1) con 0<t1<t.

Scrivere, dato un generale fattore di montante f(t), la funzione che rappresenta la forza di interesse e

spiegare il suo significato finanziario. Inoltre, determinare la forza di interesse nei regimi

dell’interesse semplice, composto e anticipato dato il tasso di interesse effettivo annuo del 5%

all’epoca t=4.

Confrontare graficamente i fattori di montante dei regimi a interesse semplice, composto e

anticipato.dal basso all’alto: semplice, composto, anticipato

Capitolo 2

Definire il concetto di “rendita”. La rendita finanziaria è un insieme di importi da riscuotere o da

pagare a epoche differenti. Si indica con S={(R ; t ), k = 0, 1, 2, …n…} dove il generico importo

k k

R è detto rata o termine e l’epoca di disponibilità t è detta valuta o scadenza.

k k

Definire il valore di una rendita al tempo t, evidenziando poi il caso particolare che si ha utilizzando

la capitalizzazione composta . Il valore attuale di una rendita è la somma dei valori attuali delle

singole rate, calcolati nel regime di attualizzazione prescelto. Per la valutazione di una rendita ci si

colloca di preferenza nel regime a sconto composto, essendo questo regime caratterizzato

dall’importante proprietà della scindibilità.

definire e commentare a ┐ . Sia 1/(1+i)=v . Per indicare il valore attuale di una rendita periodica

n i

posticipata immediata unitaria di n rate si usa il simbolo a ┐ . essendo la somma di n termini in

n i n

progressione geometrica con primo termine v e ragione v si ha a ┐ =(1-v )/i

n i

definire e commentare ä ┐ Si usa per indicare il valore attuale di una rendita periodica anticipata

n i. n

immediata unitaria di n rate nel regime composto al tasso di interesse periodale i. ä ┐ =(1-v) /(1-v)

n i

relazione tra ä ┐ e a ┐ : ä ┐ a ┐ (1+i)

n i n i n i = n i

p

definire p/ a ┐ a ┐ v . è il valore attuale di una rendita di n rate periodica unitaria posticipata

n i= n i *

differita di p periodi nel regime a sconto composto al tasso d’interesse periodale i.

a ┐ = 1/i è il valore attuale di una rendita di rata costante R posticipata perpetua nel regime a sconto

∞ i

composto al tasso periodale i.

ä ┐ =1+(1/i) è il valore attuale di una rendita unitaria anticipata perpetua nel regime a sconto

∞ i

composto al tasso d’interesse periodale i.

n

s ┐ = (u -1)/i. dove u=1+i, è il montante di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n

n i

rate, nel regime a int composto al tasso d’interesse periodale i.

n

relazione tra s ┐ e a ┐ : s ┐ = u *a ┐

n i n i n i n i

n

ŝ ┐ = u(u -1)/i

n i

Cos’è la scadenza media ?La scadenza media è la scadenza z di un unico capitale di importo pari

alla somma degli importi dell’operazione finanziaria in modo tale che il suo valore attuale coincida

con il valore attuale dei singoli importi dell’operazione finanziaria stessa.

Cos’è la scadenza media aritmetica? La scadenza media aritmetica è la media aritmetica delle

scadenze ponderate con pesi dati dagli importi delle rate.

Si illustri il principio di equivalenza finanziaria e si esponga il relativo teorema. Due rendite sono

finanziariamente equivalenti se ad un certo tempo t hanno lo stesso valore attuale. Due rendite con

lo stesso valore attuale sono finanziariamente equivalenti ad ogni tempo t se e solo se il loro valore

è calcolato con leggi coniugate ad interesse composto.

Capitolo 3

L’ammortamento di tipo italiano ( o uniforme) prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito

all’epoca iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento di importo variabile alle varie

scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo. C =S/n D =S(n-k)/n E = k*S/n

k k k

L’ammortamento francese (o progressivo o a rata costante) prevede che, a fronte del capitale S

preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponda n rate posticipate di ammortamento alle

varie scadenze, in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R. l’importo R è determinato

in base al principio di equivalenza finanziaria, ovvero mediante l’uguaglianza dei valori attuali

S=R a ┐ C =C (1+i)

n i k+1 k

L’ammortamento americano è un’operazione finanziaria composita nella quale figurano:

- un’operazione di rimborso globale con interessi periodici calcolati al tasso periodale i,

- una distinta operazione di costituzione di capitale che, tramite versamenti complementari Q,

consenta all’epoca n, scadenza del prestito, di poter disporre di un capitale di importo pari

all’ammontare S del prestito. Questa operazione si regola sulla base del tasso i’, solitamente

inferiore a i.


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia delle imprese e dei mercati (MILANO)
SSD:
Docente: Non --
A.A.: 2005-2006

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Exxodus di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Cattolica del Sacro Cuore - Milano Unicatt o del prof Non --.

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