Matematica finanziaria

Calcolo del tasso annuo d'interesse composto

M=1700 euro. Determinare il tasso annuo d'interesse composto i.

M= C(1+i)^t

1700 = 1600 (1+i)^4

∛quarta ∛quarta di 17/16 = di (1+i)^4

∛quarta di 17/16 =1+i∛quarta - ∛quarta

i = di 17/16 1

se di 17 è 2,03 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

− − − − − − − − − − − – − − − − − − − − − − − − − −1700/1600 1 = i4 1700 1700 /1600 = i4– − 100/1600 = i4− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −1/16 = i4 1/16 * 1/4 = i 1/64 = i– − − − − − − − − − − 0,015 (annuo)− − − − − − − − − − − −I2 = 0,015/2 = 0,0078 0,78%Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione semplice, produce un montanteM=1800 euro. Determinare il tasso quadrimestrale d’interesse semplice i3.M=

C(1+it)1800 = 1600 (1+i4)1800/1600 = 1+i4– − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − – −1800/1600 1 = i4 1800 1600 /1600 = i4– − − − − − − − − − − − − − 300/1600 = i4− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −1/8 = i4 1/8 * 1/4 = i 1/32 = i−– − − − − − − − − 0,031 (annuo)− − − − − − − − − − − −I3 = 0,031/3 = 0,010 1%Quando diremo che due

I tassi periodali sono equivalenti se, applicati allo stesso capitale, danno lo stesso montante per lo stesso arco temporale.

Per calcolare il corso di un titolo a rendimento certo, esistono due casi: con cedola e senza cedola.

Nel caso senza cedole, la formula da utilizzare è:

A = S / (1 + i)^t

Nel caso con cedole, la formula da utilizzare è:

A = R1 / (1 + i)^t1 + R2 / (1 + i)^t2 + Rn + s / (1 + i)^tn

Se il tasso nominale è j3 = 3%, il tasso annuale effettivo corrispondente si calcola come:

i = (1 + i3)^3 - 1 = (1 + 0,01)^3 - 1 = 0,030301 = 3,0301%

Se il tasso nominale è j4 = 3%, il tasso trimestrale effettivo corrispondente si calcola come:

i4 = j4 / 4 = 0,03 / 4 = 0,0075 = 0,75%

La relazione tra tasso annuale e tasso periodale è:

a) nel regime dell'interesse semplice: in = i / n

b) nel regime dell'interesse composto: in

(1 + i)^1/n

Cosa significa che un regime finanziario è scindibile? Il montante di un'operazione finanziaria dipende solo dalla durata e non da eventuali operazioni intermedie di disinvestimento e di immediato reinvestimento (a parità di condizioni).

Come si dimostra che il regime di capitalizzazione individuato dal fattore di montante e^(dt) è scindibile?

Che cosa è una struttura dei tassi a termine? Un insieme di tassi spot che delinea l'andamento dei tassi di mercato, valutati oggi, su un arco di scadenze future.

Come si dimostra che il regime di capitalizzazione individuato dal fattore di montante è scindibile?

Il corso all'emissione di uno ZCB (zero coupon bond) con scadenza a tre anni è 96,8 euro e il suo valore nominale è 100. Qual è il tasso annuo di rendimento? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

ZCB SCADENZE 0 3-IMPORTI 96,8 100

A = S/(1+i)^t – i = (S/A)^1/t - 1

(100/96,8)1/3 1 = 0,01090041 = 1,09% Calcola il montante a 3 anni e 6 mesi di 100 euro impiegati in capitalizzazione composta al tasso semestrale del 0,6%. Attenzione: indica la formula (o le formule) utilizzate e tutti i passaggi. M = C (1+i)^t i = (1 + i2)^2 - 1 M = 100 (1+i)^3.5 i = (1 + 0.006)^2 - 1 M = 100 (1+ 0.012036)^3.5 = 104.2763606 Il rendimento annuo al lordo delle imposte, in cc, per un BOT di valore nominale 5000 euro e scadenza a 12 mesi è del 2%. Nell'ipotesi che il tasso d'interesse di mercato aumenti subito dopo l'acquisto del titolo del 0,25% e poi rimanga invariato fino alla scadenza, stabilire il prezzo di vendita del BOT dopo 5 mesi. Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici. S = 5000 i = 0.02 + aumento dello 0.25% = 0.0025 tot i = 0.0225 P = S/(1 + i)^t = 5000 /(1 + 0.0225)^(7/12) = 5000/1.0131 = 4935.35 Voglio costituire un capitale pari a 100000 euro mediante il

versamento annuale, per 15 anni, di unarata posticipata, di importo R, con decorrenza t=0, assumendo un tasso di mercato piatto per tuttal'operazione pari al 4% annuo. Qual è l'importo della rata R? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

R * = 100000

R = 100000/ = 100000 /(1+i)^n

1/i = 100000 /(1+0,4)^15

1/0,04 = 100000/20,02 = 4995

Qual è il montante in t=8 di una rendita, con decorrenza t=0, che prevede 8 rate annue anticipate ciascuna di importo 70 nell'ipotesi di un tasso d'interesse piatto del 4%? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

FLUSSO Scad (anni) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i = 4%

Importi 70 70 70 70 70 70 70 70 70

-M = R * * (1 + i) = 70 * (1 + 0,04)^8

1 /0,04 * (1 + 0,04) = 70 * 9,214 * 1,04 = 670,80

Qual è il valore attuale in t=0 di una rendita, con decorrenza t=0, che prevede 8 rate annue anticipate ciascuna di importo 70 nell'ipotesi di un

tasso d'interesse piatto del 4%? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

A = R * (1 + i) = 70 * 1 (1+i)- n /i * (1 + i) = 70 * 1 (1 + 0,04)- 8 /0,04 * (1 + 0,04)= 70 * 6,73 * 1,04 = 490,14

Una rendita posticipata prevede 3 rate rispettivamente di 10, 20, 30 a scadenza annuale con decorrenza t=0. Qual è il montante della rendita in t=7, assumendo per tutto l'arco dell'operazione un tasso annuo i=0,05? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.

0 1 2 3 4 5 6 7

FLUSSO anni

Importi 10 20 30

Mt=7 = 10 * (1+i)t + 20 * (1+i)t + 30 * (1+i) = 10 * (1+0,05)6 + 20 * (1+0,05)5 + 30 * (1+0,05)4 = 13,40 + 25,53 + 36,47 = 75,3918

Considera la rendita posticipata a rata costante individuata dal seguente flusso di cassa

Calcola l'importo disponibile a un anno e sei mesi dall'inizio dell'operazione al tasso mensile del 0,1% incc.

M in t = 18 mesi – M = R * = 20 * (1 +

0,001)12 1 /0,001 = 241,32441

Considera la seguente operazione finanziaria che inizia in t=0

(c) Si tratta di una rendita?

(d) Se sì, elenca tutte le caratteristiche di questa rendita.

C. si

D. rendita posticipata

rate negative NON costanti

periodo 2 anni con decorrenza in T = 0

Compilare il flusso di cassa per:

(3) una rendita anticipata con 4 pagamenti di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese;

(4) una rendita posticipata con 4 entrate di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese.

1.2.

Considera la seguente rendita posticipata

(3) Calcola il montante della rendita in t=3 al tasso del 3% in cs

(4) Calcola il montante della rendita in t=3 al tasso del 3% in cc

1. M = 30 * (1 + 0,03 *2) + 50 (1 + 0,03 *1) + 70 = 31,80 + 51,50 + 70 = 153,30

2. M = 30 * (1 + 0,03)2 + 50* (1 + 0,03)1 + 70 = 31,827 + 51,50 + 70 = 153,32

Si vuole costituire un capitale di 100.000 euro con 12 versamenti annui posticipati sui quali verràcorrisposto un tasso di interesse annuo del 4%. Calcolare

l'importo della rata da versare: 100000 = 100 = 6655,22(1 + 0,04)^12 - 1 15,02580,04

Un mutuo di 10.000 euro viene ammortizzato con 30 rate mensili costanti al tasso mensile d'interesse del 0,1%. Qual è il debito residuo dopo il pagamento della rata n° 20?

Ipotizzando di essere oggi al tempo t=0, voglio garantirmi per 22 anni una rendita posticipata pari a 30.000 euro l'anno con decorrenza t=20, facendo 20 versamenti posticipati di R euro l'anno secondo lo schema. Determinare R sapendo che il tasso di valutazione è il 3% annuo per tutta la durata dell'operazione.

Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i. Qual è la formula per la quota interessi I3?

I3 = i * D2

Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i. Qual è la formula per il debito estinto E3?

E3 = E2 + K3

Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i.

sia i.Qual è la formula per la rata R2? R2 = K2 + I2 = K2 + i D1 Considera il seguente piano di ammortamento Qual è la condizione di chiusura elementare? S = K1 + K2 + K3 Considera il seguente piano d'ammortamento Qual è la condizione di chiusura iniziale in cc assumendo un tasso d'interesse i? D0 = R1 /1 + i + R2 /(1 + i)2 + R3 /(1 + i)3 Considera il seguente piano d'ammortamento Qual è la condizione di chiusura finale in cc assumendo un tasso d'interesse i? D0 (1 + i)3 = R1 (1 + i)2 + R2 (1 + i) + R3 Un mutuo di 10.000 euro viene ammortizzato con 30 rate mensili costanti al tasso mensile d'interesse del 0,1%. Qual è il debito residuo dopo il pagamento della 20-esima rata? Spiega in cosa consiste il rischio di tasso relativamente al flusso di cassa.