Macchine a Fluido - Ugelli

Esercizi sugli ugelli

a) Un propulsore ad idrogeno funziona in condizioni stazionarie con una portata massica pari a 0,6 g/s. L'idrogeno è riscaldato alla pressione di 4 bar alla temperatura di 2500 K e poi si espande attraverso un ugello convergente-divergente fluendo in un ambiente in cui la pressione è di 0,01 bar. Ammettendo l'espansione isentropica, calcolare la sezione di gola dell'ugello e la sezione di sbocco in modo che l'ugello sia adattato alle condizioni suddette. Calcolare inoltre la potenza cinetica del getto. Assumere per il fluido i seguenti valori:

• Cp = 14631 J/(kg*K)
• R = 4186 J/(kg*K)

Dati

• _m = 0,6 g/s
• P₁ = 4 bar = 4 * 98066,5 Pa
• T₁ = 2500 K
• P₂ = 0,01 bar = 0,01 * 98066,5 Pa
• Cp = 14631 J/(kg*K)
• R = 4186 J/(kg*K)

Incognite:

• N_g
• N₂

Schema d'impianto

Il disegno dell'impianto è rappresentato nel grafico.

Svolgimento

L'ugello è adattato → in gola g è critico → non ci sono onde d'urto Poiché C_A è piccola → le grandezze totali corrispondono a quelle statiche Mi-costi lungo tutto l'ugello    → _m = ρ*c*n = cost → n = ^_m/_ρ*c

• N_g = ^_m/_ρc*c₁
• N₂ = ^_m/_ρ2*c₂

Calcoliamo ρ₉

1. Calcolo p_{f dalle tabelle di Poisson}

p_f/p_i=0.5

(p_f)^1/k/p_i = (2/(k+1))^k/(k-1)(2/(k+1))^1/4

Calcolo c_m (_{con cm = 0.5)}: c_m = √(k p_f/ρ_f)

̄m = ρ₉

m = (p_f/2)^1/2/(k+1)^1/2

Δs = m √p₁ρ₁/√(p_f/ρ_f)=

̄m = (p_f/2)^1/2/[√(p_f/ρ_f)]

• M ^{dai rapporti grafico Fig.1=ma}

p_f/p_i = 0.5*1000 kg/m³

P ^escalare P₂ = 10⁶/m² da riportare in km

il rapporto f._e. la corda totale

per K=cost

p₂/p₃ = p₂/p₁

ln (p₂/v₂^k) = ln (p₃/v₃^k)

ln ₀ ⁴ v₂^k=ln p₃+ln v₃

ln (v₀^kv₃) = ln (p₃)

ln (v₀^k/p₃) = ln (p₃/p₀)

= ln (p₃/p₀) -> k=

ln (p₃/p₀)

ln (v₀/v₃)

=1,31

rap_n

VAPOR D'ACQUA H₂O -> GAS TRIAATOMICO -> k ≅ 1,3

PER Q1 -> APPLICO IL TEOREMA DI CONTINUITA' :

Q₁=m/v₁=11,62 10⁵ m/s

p₂

CALCOLANDO CIAO Q₈ IN CUI SI HANNO LE CONDIZIONI CRITICHE:

ṁ

ṁ

Q₈=

√p₀ 1

√v₀

k _(2/k+1) ^k+1/k-1

__

3.5 kg/s

√(30.88006.3)8.4.3.1.(0.347)

=10,52.10 μ¹² < Q₂

_

N.B: SE VOLESSIMO CALCOLARE IL V₀ ALLO SBOCCO COME DOVREME FARE IN QUESTO CASO? QUIL NON LO POSSIAMO CALCOLARE CIOE'

VELBT IN QUANTO ABBIAMO VAPOR D'ACQUA QUINDI LO DEVO CALCOLARE COME Q=√k p_n

V M_2Cq - C_ag=828.23 μ⁵

C_q

Q₁ √k p₂v₂

V3.5+10

82806-35 0.275

=828.25

V_54.37 μ

=1.3 > 1 ->

FLUSSO SUPERSONICO ALLO SBOCCO

^p₁/_p cost. → ₁₂/^t₄ = (^p₂/_p₁)^m-1/_m

      →    ^t₂_t₄ = (^p₂/_p₁)^m-1/_m

           →      t₂ = (^p₂/_p₁)^m-1 t₄       t₂ = 343.13 K

LO SBLOCCO:

    ^m/_{s₂ . c₂ . Ω₂}    → Ω_₂ = ^m/_{ρ2 . c2} = ^p_t₂/_t₂ . ^c_t/_c2

CALCOLO P₁ & P₂ DALL' EQUAZ. DI STATO DEI GAS PERFETTI:

• ^p₁/_RT4 = 1.144 kg/m³
• ^p₂/_RT2 = 1.473 kg/m³

           →Ω₂ = 67.78 ⋅ 10^-4 m²

SCRIVIAMO L'EQUAZ. DELL'ENERGIA IN FORMA TERMICA:

dh + dϱ + gdè = dq + dΦ_e

INTEGRO TRA 1 & 2:

1. [h₂ - h₁] + ½(c²₂ - c²₁) = dΦ_e
2. cp [(t₂-t₁) + ½(c²₂ - c²₁) = dè

→          dè = -3.45 kJ/kg

LO SCAMBIO DI CALORE è NEG.

↑ ↓

IL FLUIDO STA CEDENDO CALORE ALL'AMBIENTE ESTERNO

    rarr; IL FLUIDO SI STA RAFFREDDANDO

5. UN UGELLO CONVERGENTE-DIVERGENTE È PROGETTATO PER ELABORARE 10 kg/s D'ARIA ALLA PRESSION P_t = 16 MPa & T_t = 300 °C

CON &oeta; = 0 TRASCURABILE, DETERMINARE SE GRANDEZZE CRITICHE E LA SEZIONE DI COLA.

1. PER P_ad = 1 MPa, DETERMINARE IL M_s ALLO SBOCCO.

DA CI:

• m&dec; = 10 kg/s
• p_t = 16 MPa = 16.10⁶
• t_t = 300 °C = 573.15 K
• &oeta; = 0
• p_ad = 1 MPa

INCROCI

• p_r, c_v, p_vn, t_e
• &oeta; ω