Introduzione all'Econometria - Prova pratica

H

1 Test di White per l'eteroschedasticità

OLS, usando le osservazioni 1-130

Variabile dipendente: uhat^2

coefficiente errore std. rapporto t p-value

---------------------------------------------------------------

const -12885,2 10995,5 -1,172 0,2442

x1t 2920,58 1886,65 1,548 0,1250

x2t 1821,48 2210,36 0,8241 0,4120

x3t 42,8038 224,518 0,1906 0,8492

x4t 870,058 575,138 1,513 0,1337

x5t -138,739 151,090 -0,9183 0,3608

x6t -141,556 224,438 -0,6307 0,5298

x7t 10,6916 90,4652 0,1182 0,9062

sq_x1t 46,5553 194,962 0,2388 0,8118

X2_X3 -287,316 213,269 -1,347 0,1812

X2_X4 -3,48774 28,2811 -0,1233 0,9021

X2_X5 -63,6520 58,6397 -1,085 0,2805

X2_X6 -7,63935 19,4617 -0,3925 0,6956

X2_X7 -39,8114 25,4153 -1,566 0,1206

X2_X8 3,27540 10,6035 0,3089 0,7581

sq_x2t 16,4917 132,976 0,1240 0,9016

X3_X4 -23,7750 21,2662 -1,118 0,2664

X3_X5 -74,1245 51,8129 -1,431 0,1559

X3_X6 3,15626 17,3252 0,1822 0,8558

X3_X7 31,2905 21,9802 1,424 0,1579

X3_X8 -13,4746 10,0513 -1,341 0,1833

sq_x3t 3,01552 1,97605 1,526 0,1304

X4_X5 -3,20337 5,75404 -0,5567 0,5790

X4_X6 2,39513 2,02458 1,183 0,2398

X4_X7 -1,29198 2,32291 -0,5562 0,5794

X4_X8 1,26987 0,977837 1,299 0,1972

sq_x4t -7,47697 10,1196 -0,7389 0,4618

X5_X6 3,51091 5,10009 0,6884 0,4929

X5_X7 0,634375 5,14756 0,1232 0,9022

X5_X8 2,46646 2,77042 0,8903 0,3756

sq_x5t 0,323565 1,28362 0,2521 0,8015

X6_X7 -2,25714 2,06501 -1,093 0,2772

X6_X8 0,491543 1,01425 0,4846 0,6291

sq_x6t -2,64442 1,86809 -1,416 0,1602

X7_X8 -0,674410 1,15768 -0,5826 0,5616

sq_x7t -0,0223649 0,393344 -0,05686 0,9548

R-quadro = 0,267122

Statistica test: TR^2 = 34,725823,

con p-value = P(Chi-quadro(35) > 34,725823) = 0,481263

Con cross-products, il p-value è nettamente maggiore di 0.05 quindi accetto l’ipotesi di

omoschedasticità.

Test di White per l'eteroschedasticità (solo quadrati)

OLS, usando le osservazioni 1-130

Variabile dipendente: uhat^2

coefficiente errore std. rapporto t p-value

------------------------------------------------------------

const 4260,26 5524,37 0,7712 0,4422

x1t -101,189 544,063 -0,1860 0,8528

x2t -393,456 1507,48 -0,2610 0,7946

x3t -130,727 87,6591 -1,491 0,1386

x4t 303,479 253,911 1,195 0,2345

x5t -10,1990 17,6223 -0,5788 0,5639

x6t -19,5205 20,2905 -0,9621 0,3380

x7t -0,604715 9,51091 -0,06358 0,9494

sq_x1t 14,3120 165,118 0,08668 0,9311

sq_x2t 10,5686 111,684 0,09463 0,9248

sq_x3t 2,25898 1,60559 1,407 0,1621

sq_x4t -11,3149 8,60500 -1,315 0,1912

sq_x5t -0,655408 1,01366 -0,6466 0,5192

sq_x6t -2,18272 1,57095 -1,389 0,1674

sq_x7t -0,266259 0,315537 -0,8438 0,4005

R-quadro = 0,086156

Statistica test: TR^2 = 11,200260,

con p-value = P(Chi-quadro(14) > 11,200260) = 0,670237

Anche senza cross-products il p-value della statistica test maggiore di 0.05 porta ad accettare l’ipotesi

nulla di omoschedasticità.

Test di Jarque-Bera

Livello di significatività 0.05.

H : residui distribuiti come una normale

0

H : residui non distribuiti come una normale

1 Test per la normalità di resid1:

Test di Doornik-Hansen = 0,301632, con p-value 0,860006

W di Shapiro-Wilk = 0,991476, con p-value 0,615344

Test di Lilliefors = 0,0609628, con p-value ~= 0,27

Test di Jarque-Bera = 0,657648, con p-value 0,71977

Il p-value del test di Jarque-Bera risulta maggiore di 0.05, accetto l’ipotesi nulla, i residui si

distribuiscono come una normale.

Test di autocorrelazione LM

Livello di significatività 0.05

H : assenza di autocorrelazione

0

H : presenza di autocorrelazione

1 Test di Breusch-Godfrey per l'autocorrelazione del prim'ordine

OLS, usando le osservazioni 1-130

Variabile dipendente: uhat

coefficiente errore std. rapporto t p-value

--------------------------------------------------------------

const -5,47396 22,2606 -0,2459 0,8062

x1t 2,70539 2,97671 0,9089 0,3652

x2t 2,40185 2,44619 0,9819 0,3281

x3t -0,507807 0,275432 -1,844 0,0677 *

x4t -0,0784918 0,623331 -0,1259 0,9000

x5t -0,274743 0,244828 -1,122 0,2640

x6t -0,373663 0,275832 -1,355 0,1780

x7t -0,0782507 0,131606 -0,5946 0,5532

uhat_1 0,705697 0,0706808 9,984 1,73e-017 ***

R-quadro = 0,451709

Statistica test: LMF = 99,685737,

con p-value = P(F(1,121) > 99,6857) = 1,73e-017

Statistica alternativa: TR^2 = 58,722172,

con p-value = P(Chi-quadro(1) > 58,7222) = 1,82e-014

Ljung-Box Q' = 54,5016,

con p-value = P(Chi-quadro(1) > 54,5016) = 1,55e-013

Un p-value praticamente nullo indica fortemente la presenza di autocorrelazione dei residui.

• Sulla base dei risultati ottenuti con i test, l’introduzione di variabili ritardate (modello

dinamico) potrebbe migliorare la qualità della stima?

Data la presenza di autocorrelazione mi aspetto che l’introduzione di variabili ritardate migliori la

qualità della stima.

1. Stima OLS del modello di regressione dinamico (modello generale) riferito alla variabile Y.

Modello OLS dinamico:OLS, usando le osservazioni 2-130 (T = 129)

Variabile dipendente: Yt

Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value

const 67,6565 39,8224 1,6990 0,09208 *

x1t 2,56514 3,11241 0,8242 0,41158

x1t_1 -2,50297 3,2545 -0,7691 0,44345

x2t 1,91425 2,66962 0,7171 0,47482

x2t_1 0,706003 2,68231 0,2632 0,79287

x3t 0,265815 0,28486 0,9331 0,35274

x3t_1 -0,501831 0,283564 -1,7697 0,07947 *

x4t -4,89779 0,688424 -7,1145 <0,00001 ***

x4t_1 2,73671 0,791618 3,4571 0,00077 ***

x5t 0,265699 0,327405 0,8115 0,41877

x5t_1 -0,297254 0,318599 -0,9330 0,35281

x6t 0,290763 0,288926 1,0064 0,31639

x6t_1 -0,529019 0,283308 -1,8673 0,06445 *

x7t -0,135806 0,192129 -0,7068 0,48112

x7t_1 -0,169292 0,192679 -0,8786 0,38147

Yt_1 0,724592 0,0720504 10,0567 <0,00001 ***

Media var. dipendente 169,7494 SQM var. dipendente 51,14388

Somma quadr. residui 112246,2 E.S. della regressione 31,51713

R-quadro 0,664746 R-quadro corretto 0,620243

F(15, 113) 14,93717 P-value(F) 2,25e-20

Log-verosimiglianza -619,6202 Criterio di Akaike 1271,240

Criterio di Schwarz 1316,997 Hannan-Quinn 1289,832

rho -0,189043 Valore h di Durbin -3,692395

2. Vi sono effetti di multicollinearità?

Fattori di Inflazione della Varianza (VIF)

Valore minimo possibile: 1.0

Valori superiori a 10.0 indicano un problema di collinearità

x1t 1,103

x1t_1 1,140

x2t 1,234

x2t_1 1,220

x3t 1,130

x3t_1 1,119

x4t 1,322

x4t_1 1,777

x5t 1,974

x5t_1 1,872

x6t 1,137

x6t_1 1,111

x7t 2,189

x7t_1 2,159

Yt_1 1,774

VIF(j) = 1/(1 - R(j)^2), dove R(j) è il coefficiente di correlazione

multiplatra la variabile j e le altre variabili indipendenti

Proprietà della matrice X'X:

Norma 1 = 6362839,5

Determinante = 3,1981827e+056

Reciproco del numero di condizione = 8,7848056e-008

Secondo l’indice VIF, non vi sono problemi di multicollinearità. Se vi fosse stata multicollinearità il

determinante della matrice X’X sarebbe stato nullo o molto piccolo e le stime non sarebbero

attendibili.

A confermare l’assenza di multicollinearità si nota anche il determinante molto grande della matrice

X’X.

3. Analisi dei residui del modello generale per verificare la similarità con una realizzazione

generata da un processo white noise.

Salvo i residui generati dal modello dinamico come serie storica “resid2” e conduco un test di

normalità su di essa.

Test per la normalità di resid2:

Test di Doornik-Hansen = 0,481817, con p-value 0,785913

W di Shapiro-Wilk = 0,994729, con p-value 0,917576

Test di Lilliefors = 0,051014, con p-value ~= 0,56

Test di Jarque-Bera = 0,162616, con p-value 0,921909

Accetto l’ipotesi di normalità dei residui e continuo con un test Ljung-Box per “resid2”.

Ottengo i valori del test dalla finestra “correlogramma” della serie.

Funzione di autocorrelazione per resid2

LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]

1 -0,1881 ** -0,1881 ** 4,6716 [0,031]

2 0,2323 *** 0,2041 ** 11,8525 [0,003]

3 -0,0675 0,0062 12,4627 [0,006]

4 0,0278 -0,0312 12,5673 [0,014]

5 -0,0871 -0,0810 13,6010 [0,018]

Il p-value del test per ogni ritardo dal primo al quinto mi porta a rifiutare l’ipotesi nulla per la quale i

residui sono incorrelati.

Non essendo i residui incorrelati tra loro non posso ritenere che siano generati da un processo white

noise.

Sembrerebbe essere presente una forma di processo autoregressivo AR nei residui del modello.

4. Selezione dei regressori in base ai criteri R2-aggiustato, AIC e BIC.

2

Selezione in base all’R -aggiustato (Criterio di Theil)

Procedo togliendo man mano le variabili con il rapporto t maggiore fino a che il tutti i rapporti t non

sono maggiori in modulo a 1.

Seguendo la procedura si ottiene:

OLS dinamico R-aggiustato:OLS, usando le osservazioni 2-130 (T = 129)

Variabile dipendente: Yt

Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value

const 89,3187 20,3365 4,3920 0,00002 ***

x3t_1 -0,554598 0,265948 -2,0854 0,03910 **

x4t -4,97519 0,628965 -7,9101 <0,00001 ***

x4t_1 2,99168 0,717976 4,1668 0,00006 ***

x6t_1 -0,502774 0,268986 -1,8691 0,06398 *

Yt_1 0,734453 0,064642 11,3619 <0,00001 ***

Media var. dipendente 169,7494 SQM var. dipendente 51,14388

Somma quadr. residui 116792,8 E.S. della regressione 30,81453

R-quadro 0,651166 R-quadro corretto 0,636986

F(5, 123) 45,92066 P-value(F) 1,48e-26

Log-verosimiglianza -622,1813 Criterio di Akaike 1256,363

Criterio di Schwarz 1273,521 Hannan-Quinn 1263,335

rho -0,160278 Valore h di Durbin -2,658812

AIC (Akaike info criterion)

Questo criterio consiste nell’eliminare via via le variabili con p-value maggiori finchè tutte le

statistiche t risultino maggiori in modulo alla radice di 2.

OLS dinamico AIC:OLS, usando le osservazioni 2-130 (T = 129)

Variabile dipendente: Yt

Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value

const 89,3187 20,3365 4,3920 0,00002 ***

x3t_1 -0,554598 0,265948 -2,0854 0,03910 **

x4t -4,97519 0,628965 -7,9101 <0,00001 ***

x4t_1 2,99168 0,717976 4,1668 0,00006 ***

x6t_1 -0,502774 0,268986 -1,8691 0,06398 *

Yt_1 0,734453 0,064642 11,3619 <0,00001 ***

Media var. dipendente 169,7494 SQM var. dipendente 51,14388

Somma quadr. residui 116792,8 E.S. della regressione 30,81453

R-quadro 0,651166 R-quadro corretto 0,636986

F(5, 123) 45,92066 P-value(F) 1,48e-26

Log-verosimiglianza -622,1813 Criterio di Akaike 1256,363

Criterio di Schwarz 1273,521 Hannan-Quinn 1263,335

rho -0,160278 Valore h di Durbin -2,658812

2

Nel nostro caso questo criterio porta allo stesso risultato ottenuto con quello dell’R -aggiustato.

BIC (Bayesian information criterion o Criterio di Schwarz)

Minimizzando il valore del criterio di Schwarz si ottiene il segue