Appunti introduzione all'econometria

MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE

È una tecnica di analisi che calcola la relazione stimata tra una variabile dipendente e una o più variabili esplicative. L'obiettivo dell'econometrico è quello di riuscire a costruire la retta, infatti:

E Ɛ (errore) dove Ɛ rappresenta il margine di errore. Questo errore è il motivo per cui i punti non si trovano sulla retta. Questo errore dipende dalla variabile elastica.

Se noi assumiamo che il modello utilizzato sia vero, si fa ETEROSCHEDASTICITÀ quando il modello si modifica.

AUTOCORRELAZIONE

Quando non c’è indipendenza.

Si hanno due visioni:

• FREQUENTISTA = guarda alle frequenze effettive
• SOGGETTIVISTA = opinione di esperti. Ognuno dice la sua in base all'esperienza e ci sono tante opinioni valide quando non è possibile misurare la probabilità in base alle ripetizioni dell'esperimento.

COS’È L’ECONOMETRIA?

• Scienza che sottopone a verifica le teorie economiche
• Insieme di strumenti usati per prevedere i valori futuri delle variabili economiche
• Processo con cui si adattano i modelli economici matematici ai dati del mondo reale
• Arte e scienza di usare dati storici per fare raccomandazioni di politica economica
• Si occupa dello studio quantitativo delle relazioni economiche
• L'econometria utilizza tecniche statistiche per interpretare la realtà alla luce della teoria economica

Gli economisti partono dai dati (per esempio la produzione mensile italiana) e arrivano a formulare dei modelli grazie ad algoritmi o modelli teorici/inferenza statistica. Certi modelli in economia sono pessimi.

• METODO DELLA VEROSIMIGLIANZA = adatto ai modelli matematici. Si sceglie quello che si avvicina di più alla realtà
• METODO DEI MINIMI QUADRATI = prendere il modello con l'errore minore

I metodi usati dagli economisti sono tanti, tra questi troviamo: DATA SCIENCE, due dati saranno correlati anche se non legano accetti poiché funzionano bene sui dati. Non vengono utilizzate invece le CORRELAZIONI SPURIE.

Nel nostro esempio di correlazione spuria abbiamo due elementi completamente diversi: numero di persone che al tal mese a bordo piscina e film con Nicolas Cage.

Siccome di capire la relazione tra c'è e vediamo che c'è un trend positivo però alla fine entrambi crescono ma se le considero singolarmente questo non accade.

Altri elementi sono: Big Data -> utile per prendere decisioni.

• Stime incertezza più o meno ampia intorno ai valori ottenuti
• Interpretazione risultati

I dati economici sono NON SPERIMENTALI perchè non empirici e abbiamo:

• DATI SEZIONALI / dati di
• SERIE TEMPORALI / panel

13/09/2021

FORMA STRUTTURALE => descrive la struttura dell'economia -> TOY MODEL

(peso da macroeconomia)

• C_t: consumo misurato al tempo t
• y_t: reddito al tempo t
• i_t: investimenti al tempo t
• r_t: tasso di interesse al tempo t
• g_t: spesa pubblica al tempo t

α₀: livello di consumo che non dipende dal reddito

α₁: livello di sensibilità del consumo rispetto al reddito

è: y_t = C_t + i_t + g_t

• variabili economiche
• parametri

Abbiamo due **equazioni lineari** nelle **variabili economiche**, nella prima si fa che il consumo ma dipende dal reddito, nella seconda gli investimenti sono in funzione del reddito e del tasso di interesse. Quello che vogliamo capire è il loro comportamento è lineare o meno. La terza equazione è invece un'identità contabile, cioè essa è sempre vera, indipendentemente dall'osservazione.

Se noi vediamo che il reddito e il consumo riducono negli ultimi mesi vogliamo capire perchè questo è dovuto dalle equazioni comportamentali si riduce il reddito e di conseguenze anche il reddito perchè è l'identità contabile. Tutto questo sistema viene definito in modo sistemico, ne esce dalla teoria economica. In economia viene chiamato **MODELLO STRUTTURALE** perchè definiamo la struttura del sistema economico. In econometria o anche come noi abbiamo che consumo dipende dal reddito e reddito dipende da reddito. Noi dovremmo avere un'equazione in cui le variabili che ci interessano (C_t, i_t, e y_t) siano scritte ciascuna in funzione del resto.

Quindi proviamo a risolvere il sistema e lo possiamo fare per sostituzione.

Proprietà

valgono tutte le proprietà delle addizioni

• ⁿ_i=1 a_i = ⁿ_j=1 a_j = ⁿ_i=m+1 a_i divido i numeri da 1 a n e li sommo ed è la proprietà commutativa
• ⁱ⁼¹₄ a_i + a_i + a₃ =(a₁ + a₂) + (a₃ + a₄) = ²_i=3 a_i

Dimostrazione per induzione

• S_n = ⁿ_i=1 a_i allora S_n = S_n-1 + a_n

devo dimostrare che è vera per n=2assumo che vale per n-1dimostro che vale per n

• kⁿ_i=4 a_i = ⁿ_i=4 (ka_i)
• 3ⁱ⁼⁴ a_i = 3(a₁ + a₂) = 3a₁ + 3a₂ = ²_i=4 (3ai)
• -ⁿ_i=4 a_i = na solo se a = a_j
• ³_i=4 5 = 5+5+5 = 3.5 = 15
• - ⁿ_i=4 a_i + ⁿ_i=4 b_i = ⁿ_i=4 (a_i + b_i)
• (a₁ + ... + a_n) + (b₁ + ... + b_n) =
• (a₁ + b₁) (a₂ + b_i) + ... + (a_n+ b_n) = ⁿ_i=4 (a_i + b_i)
• - ^m_i=4 a_i ^m_j=4 b_j : ^m_j=4 ^m_i=4 a_i b_j
• (1+3)(5+4) = 1.5 + 1.4 + 3.5 + 3.4

NB ( ) (a₁ + a₂+ ... + a_n ^m_j=4 b_j) - tutto questo lo risolvo e diventa

• (a_n ^m_j=4 b_j) + ... + (a_n ^m_j=4 b_j)

( ) ->

• ^m_j=4 (a_j b_j) | ^m_j=4 (a_n b_j) = ⁿ_i=4 ^m_j=4 a_i b_j

det(B) = (3 . 2 . 9) + (1 . 1 . 5) + (6 . 8 . 7) - (5 . 2 . 6) - (7 . 1 . 3) - (9 . 8 . 1) - 4 . 1

Le proprietà sono

• det(AB) = det(A) det(B)
• det(A^-1) = 1 / det(A)
• det(A) = det(A)
• det(A') = det(A)

Matrice inversa: la matrice è inversa quando R_o = 1 det(A)≠0

A = ^{a b} _{c d} A^-1 = ^{d -b} _{-c a}

Le proprietà sono

(AB)^-1 = B^-1 A^-1

(A_t)^-1 = (A^-1)_t

(A^-1)^-1 = A

• Se le righe o le colonne di A sono linearmente dipendenti, allora det(A) = 0

RIPASSO DI STATISTICA

VARIABILE ALEATORIA

X: Ω → R Variabile casuale reale, X, è una funzione che associa ad ogni possibile esito di un esperimento aleatorio un numero reale.

Ω = spazio campionario, e racchiude tutti gli eventi elementari &lxw;, che rappresentano i possibili esiti di un esperimento aleatorio

Le variabili aleatorie possono essere discrete se il codominio di X è un insieme di valori numerabile, oppure continue se il codominio di X è un insieme non numerabile. Nei 'ultimo caso vengono utilizzate le funzioni di densità di probabilità.

• M ISURE DI PROBABILITÀ
• Ω = {T, C, E}
• w: X(a)
• T = 1
• C = -1000 USD
• C = 1 + E

• Es. lancio della moneta → distribuzione uniforme discreta le probabilità degli eventi devono dare 1
• P({μσ3}) > 0 / P({μσ}) < 1
• P({uσ}) / 4

ESEMPI DI DISTRIBUZIONE

1. BERNOULLI X∼Ber(p) $ sc P (X=x|μ&tail;) = p = si tratta di distribuzione discreta
2. I'esi possono assumere solo due risultati vero o flulo. Le prove sono indipendenti tra loro e fanno la stessa probabilità di successo
3. GAUSSIANA X∼N(μ, σ²)
4. La funzione di densità