Integrali funzioni fratte

RISOLUZIONE

2) Calcoliamo gli integrali di funzioni razionali fratte proposti:

2 2

− −2 −2) − −2

x = (x +1)(x (l'equazione x x = 0 ammette radici reali e

a) x

distinte);determiniamo due costanti A e B in modo che risulti:

−

2x 3 A B

+

= + −

2 − − x 1 x 2

x x 2 + =



+ − + A B 2

A B (A B)x 2A B

+ 

= per cui deve essere: − + = −

+ − + − A B .

2 3



x 1 x 2 (x 1)(x 2) 5 1

, B= e quindi

Risolvendo il sistema si ha: A== 3 3

−

2x 3 5 1 1 1 5 1

∫ ∫ ∫ +

x 1 x - 2

dx = dx + dx = ln + ln + c

+

2 − − 3 x 1 3 x - 2 3 3

x x 2

3 3 2

− 1

x 1 x 1 x ∫

∫ ∫ ∫ ∫

− − dx

b) = = .

dx dx dx dx 2

3 3 3 2 −

− − − − x(4x 1

)

4x x 4x x 4x x 4x 1

2

x 1 1 1 x 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

dx = dx + dx = + dx ;

2 2 2

− − −

4 4 4 4

4x 1 4x 1 4x 1

Determiniamo due costanti A e B in modo che risulti:

A B

1 = +

− +

2 − 2x 1 2x 1

4x 1 + =



+ + A B 0

A B 2(A B)x A - B 

+ = per cui deve essere: ossia

− =

− + 2 − A B .

1



2x 1 2x 1 4x 1

1 1 1 1 1 1

1

∫ ∫ ∫

− −

=

A= , B= per cui dx dx dx =

− +

2 −

2 2 2 2x 1 2 2x 1

4x 1

1 1

− +

−

2 x 1 2 x 1 + c .

= ln ln 1

4 4

2

x x 1 1

∫ − +

−

2 x 1 2 x 1

dx = + ln ln + c .

2

2 − 4 16 16

4x 1

Determiniamo tre costanti C, D, E in modo che risulti:

1 C D E

= + +

− +

2 − x 2x 1 2x 1

x(4x 1

) 2

+ + + − −

(4C 2D 2E)x (D E)x C

C D E

+ + = per cui deve essere:

− + 2 −

x 2x 1 2x 1 x(4x 1)

+ + = =

 

2C D E 0 E 1

 

− = =

 

D E 0 D 1

cioè: . Allora:

 

= − = −

C 1 C 1

 

1 1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫ − +

dx x 2 x 1 2 x 1

=− dx + dx + dx =−ln + ln + ln +c .

3

− +

2 − x 2x 1 2x 1 2 2

x(4x 1

)

Concludendo:

3 −

x 1 x 7 9

∫ − +

− −

x 2 x 1 2 x 1

dx = +ln ln ln + c

3 − 4 16 16

4x x

3 2 2 3 2

−5x −4=(x −1)(x −2) −5x −4

c) x + 8x ( l'equazione x + 8x = 0 ammette la radice

semplice doppia

x =1 e la radice x =2).

Cerchiamo tre costanti A, B , B in modo che risulti:

1 2

− B B

3x 1 A 1 2

= + + ; si ottiene:

− − −

3 2

− + − x 1 x 2 x 2

x 5x 8x 4 2

− −

3x 1=(A + B )x + (−4A−3 B + B )x + (4A + 2B B ), e quindi

1 1 2 1 2

+ = =

 

A B 0 A 2

1

 

− − + = = −

 

4A 3B B 3 B 2

cioè . Allora:

1 2 1

  =

+ − = − B 5

4A 2B B 1 

 1 2 2

−

3x 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫ - 2

−2

dx = 2 dx dx +5 (x - 2) dx =

− −

3 2

− + − x 1 x 2

x 5x 8x 4 − 2

1 −

−  

x 1

(x 2) 5

− − −

−2  

x 1 x 2 + c.

= ln

= 2 ln ln +5 −

− −

 

x 2

1 x 2 3 +

x 5 1

∫ ∫

2

d) dx

L'equazione 4x +1 = 0 ammette due radici complesse coniugate. = xdx

2 + 4

4x 1

2

− +

( 1/4)x 5 x 1 xdx dx

∫ ∫ ∫

−

dx = +5 =

+ 2 2 2

+ + +

8 4

4x 1 4x 1 4x 1

2

x 1 5

2

−

= +1) +

ln(4x arctg2x + c.

8 32 2

3 3

− − +

2x 1 2(x 1

) 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

dx dx dx

e) = = 2 dx + .

3 3 3

− − −

x 1 x 1 x 1

3 2 3

−1 −1)(x −1

x =(x + x +1) (l'equazione x = 0 ammette la radice reale x=1

e due radici complesse coniugate);

determiniamo tre costanti A, B, C in modo che risulti:

+

1 Bx C

A 2

= + ; si ottiene: 1 = (A+B)x + (A−B+C)x + A−C

−

3 2

− + +

x 1

x 1 x x 1

+ =

 A B 0

 1 1 2

− + = − −

 A B C 0

da cui cioè A= , B= , C= . Pertanto risulta:

3 3 3

 − =

A C 1

 − +

1 1 1 (-1/3)x (2/3) 1 1 x 2

∫ ∫ ∫ ∫

− −

x 1

dx = dx + dx = ln dx =

−

3 2 2

− + + + +

3 x 1 3 3

x 1 x x 1 x x 1

+ + +

1 1 2x 1 3 1 1 2x 1 1 1

∫ ∫ ∫

− −

− − −

x 1 x 1

= ln dx = ln dx dx =

2 2 2

+ + + + + +

3 6 3 6 2

x x 1 x x 1 x x 1

2

1 1 1 1

∫

− − −

x 1

= ln ln(x + x +1) dx .

2 + +

3 6 2 x x 1 1

+

x

∫ +

dx

1 2 2 2x 1

∫ 2

dx = = arctg + c = arctg + c ;

2

2 + + 2   3 3 3 3

x x 1  

1 3

 

+ +

 

x   2

 

2 2

 