Integrali Doppi Svolti

Integrali doppi: esercizi svolti

Rc) xxy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 0 < x < 1, x < y <Ω h i112Z n oxy 2 2 2Rd) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 1 < x + y < 4, x > 0, y > 02 2x + yΩ h i34Z n o2 2 2 2 2Re) xy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + y < 1, x + y < 2x, y > 0Ω h i548Z n o2 2 2Rf ) xy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + 2y < 1, x > 0, y > 0Ω h i11612

g) x(1 − y) dx dy, Ω= (x, y) ∈ : 0 < y < , y < x < 1 − y2Ω h i√ 2 1−6 16½ ¾Z 1 12Rh) log (xy) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : −1 < x < − , 4x < y <2 xΩ [5 log 2 − 3]½ ¾Z 1x 2 2R

i) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x < y < x, 1 < xy < 2log 2y 4Ω h i21 log 46Z n o1 2Rdx dy, Ω = (x, y) ∈ : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4l) 2(x + y)Ω [log 25 − log 24]Z n ox 2 2 2Rm) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x < y < 2x , 1 < x < 22 2x + yΩ h iπ 1 34

12arctan 4 - 3arctan 2 + -log 17 + log 5 - log 24 4 2Z n o√2 √sin y 2 2Rn) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 0 < x < y , π < y < 2πyΩ [−1]Z n o2 2 2Ro) xy dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + 2y < 1Ω [0]Z q n o2 2 2R2 2p) x + y dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + y − 4x < 0Ω h i2569Z ³ ´ n o22 2 2Rq) x + y dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 1 < x + y < 4, x > 0, y > 0Ω h i7 15+ π3 16Z q n o2 2 2 2 2R2 2r) x x + y dx dy, Ω = (x, y) ∈ : x + y < 1, x + y < 2y, x < 0Ω h i3− 20Integrali doppi: esercizi svolti 3Z n o2 2 2Rs) (x + y) dx dy, Ω = (x, y) ∈ : 2x + 3y < 4, x > 0, y > 0Ω h ³ ´i√ √4 3+ 29Svolgimento Za) Consideriamo l’integrale (x + y) dx dy, doveΩ( )√ q22R 2Ω= (x, y) ∈ : 0 < y < , y < x < 1 − y .2y10.80.60.40.2 x0−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Fig. 1: L’insieme Ω (in

azzurro).L'insieme Ω è x-semplice. Quindi si ha che√"Z #√Z Z 2 21−y2(x + y) dx dy = (x + y) dx dy =Ω 0 y√√ √· ¸ · ¸Z Z q³ ´2 221−y1 1 32 22 2 22= x + xy dy = 1 − y + y 1 − y − y dy =2 2 20 0y √√ µ ¶ · ¸Z q 2³ ´2 3 11 1 2 1 22 2 3 2 22 == − 2y + y 1 − y dy = y − y − 1 − y .2 2 3 3 30 0Z ³ ´2 2b) Consideriamo l'integrale x + y dx dy, doveΩn o2RΩ = (x, y) ∈ : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2 .4 Integrali doppi: esercizi svoltiy2.521.510.5 x0−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2Fig. 2: L'insieme Ω è il quadrato.L'insieme Ω è sia x-semplice che y-semplice. Si ha che·Z ¸Z Z³ ´ ³ ´1 22 2 2 2x + y dx dy = x + y dy dx =Ω 0 1· ¸ µ ¶ · ¸ZZ 2 111 1 7 1 7 82 3 2 3x y + y dx = x + dx = x + x = .=

3 3 3 3 30 01 0Zc) Consideriamo l'integrale xy dx dy, doveΩn o√2 2RΩ = (x, y) ∈ : 0 < x < 1, x < y < x .y1.210.80.60.40.2 x0−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4Fig. 3: L'insieme Ω (in azzurro).Integrali doppi: esercizi svolti 5L'insieme Ω è y-semplice. Quindi si ha che"Z #√Z Z 1 xxy dx dy = xy dy dx =2Ω 0 x√· ¸ ¸·Z Z ³ ´x 11 11 1 1 1 1 12 2 5 3 6= x y dx = x − x dx = x − x = .2 2 2 3 6 120 02x 0Z xy dx dy, doved) Consideriamo l'integrale 2 2x + yΩn o2 2 2RΩ = (x, y) ∈ : 1 < x + y < 4, x > 0, y > 0 .y2.521.510.5 x0−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Fig. 4: L'insieme Ω (in azzurro).L'insieme Ω è sia x-semplice che y-semplice. Osserviamo che Ω presenta una sim-metria radiale. Possiamo quindi passare in coordinate polari nel piano. Poniamoquindi ( x = ρ cos ϑΦ: ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π, |det J (ρ,

ϑ)| = ρ.Φy = ρ sin ϑ,Allora ( 1 <ρ< 2(x, y) ∈ Ω ⇐⇒ π0 < ϑ < .20Quindi si ha che Ω = Φ(Ω ), dove ¾½ π20 R .Ω = (ρ, ϑ) ∈ : 1 < ρ < 2, 0 < ϑ < 2Ne segue che Z Zxy dx dy = ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ =2 2x + y 0Ω Ω6 Integrali doppi: esercizi svolti0essendo Ω un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integrandaprodotto di una funzione in ρ e di una di ϑ si ottieneÃZ !µZ ¶ · ¸ · ¸ ππ 22 1 1 322 2 2cos ϑ sin ϑ dϑ = ρ sin ϑ .= ρ dρ =2 2 41 0 1 0y2π/210.50 x0 0.5 1 1.5 2 2.50Fig. 5: L’insieme Ω (in verde).Ze) Consideriamo l’integrale xy dx dy, doveΩn o2 2 2 2 2RΩ = (x, y) ∈ : x + y < 1, x + y < 2x, y > 0 .y1.510.5 x0−1.5 −1

• −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5−1−1.5
• Fig. 6: L’insieme Ω (in azzurro).
• Integrali doppi: esercizi svolti 7
• Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi
• ( x = ρ cos ϑΦ: ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π, |det J (ρ, ϑ)| = ρ.Φ
• y = ρ sin ϑ,
• Allora  0 <ρ< 1 0 < ρ < 2 cos ϑ(x, y) ∈ Ω ⇐⇒  π .0 < ϑ < 200 0 0 , con∪ Ω
• Quindi si ha che Ω = Φ(Ω ), dove Ω = Ω 21½ ¾π20 RΩ = (ρ, ϑ) ∈ : 0 < ρ < 1, 0 < ϑ < ,1 3½ ¾π π20 RΩ = (ρ, ϑ) ∈ : 0 < ρ < 2 cos ϑ, ≤ ϑ< .2 3 2ρ2.521.510.5 θ0−1 −0.5 0 0.5 π/3 π/2 2 2.50 0 0 0 0
• Fig. 7: L’insieme Ω = Ω ∪ Ω , con Ω (in rosso) e Ω (in verde).
• 1 2 1 2
• Ne segue che Z Z 3xy dx dy = ρ cos ϑ

.80.60.40.2 x0−1 −0.5 0 0.5 1−0.2−0.4−0.6−0.8−1

Fig. 8: L’insieme Ω (in azzurro).

2y2

Essendo Ω la parte del I quadrante inclusa nell’ellisse di equazione x + = 1,12passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi( √x = ρ cos ϑ 2Φ: ρ.ρ ≥ 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π, |det J (ρ, ϑ)| =√ Φ 22y = ρ sin ϑ,2Allora ( 0 <ρ< 1(x, y) ∈ Ω ⇐⇒ π0 < ϑ < .20Quindi si ha che Ω = Φ(Ω ), dove½ ¾π20 RΩ = (ρ, ϑ) ∈ : 0 < ρ < 1, 0 < ϑ < .2Ne segue che Z Z1 3xy dx dy = ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ =2 0Ω Ω

Integrali doppi: esercizi svolti 9θ2π/210.5 ρ0 0 0.5 1 1.5 2.0−0.5 0

Fig. 9: L’insieme Ω (in verde).

0essendo Ω un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione

integrandaprodotto di una funzione in ρ e di una di ϑ si ottieneÃZ !µZ · ¸ · ¸¶ ππ 111 1 11 122 4 23= ρ sin ϑ .ρ dρ cos ϑ sin ϑ dϑ = =2 2 4 2 160 0 0 0Zg) Consideriamo l’integrale x(1 − y) dx dy, doveΩ( )√ q22R 2Ω= (x, y) ∈ : 0 < y < , y < x < 1 − y .2y10.80.60