Integrali definiti - esempi svolti su funzione potenza e funzione irrazionale

L’integrale definito

Calcolo di integrali definiti

• a. ₀∫¹ x² dx
• b. ₂∫⁵ √x - 1 dx

L'integrale definito

Calcolo di integrali definiti

1. ₀∫¹ x² dx

2. ₂∫⁵ √x - 1 dx

a. ∫₀¹ x² dx

∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 - 0 = 1/3

b. ∫₂⁵ √x - 1 dx

b. ∫₂⁵ √x - 1 dx = ∫₂⁵ (x - 1)^1/2 dx = [2/3 (x - 1)^3/2]₂⁵ = 2/3 · 4^3/2 - 2/3 · 1^3/2 =

= 2/3 · 8 - 2/3 = 14/3

Calcolo di un integrale definito con il metodo di sostituzione

Calcoliamo l'integrale ∫₀¹ 1/1 + e^x dx.

• Poniamo e^x = t, da cui x = ln t e dx = 1/t dt.
• Stabiliamo a quale intervallo di integrazione in t corrisponde l'intervallo di integrazione in x:

x = 0 ⇒ t = e⁰ = 1

x = 1 ⇒ t = e¹ = e

quindi all'intervallo [0, 1] corrisponde, nella nuova variabile t, l'intervallo [1, e].

• L'integrale definito assegnato si può dunque trasformare nel seguente integrale definito in t, che calcoliamo senza più ritornare alla variabile x:

∫₁^e 1/1 + t dt = ∫₁^e 1/t(t+1) dt = ∫₁^e (1/t - 1/t+1) dt =

= [ln |t| - ln |t + 1|]₁^e = ln e - ln (e + 1) - ln 1 + ln 2 =

= 1 - ln(e + 1) + ln 2