Integrali curvilinei e primitive - Soluzioni

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 7 — 9 dicembre 2010

©§ – 1) Calcolare la lunghezza dei seguenti archi di curva:

2

(i) arco della parabola f (x) = x fra i punti di ascissa x = 0 e x = 1;

√ √

(ii) arco della curva f (x) = log x fra i punti di ascissa x = 3 e x = 8;

· ≤ ≤

(iii) arco della spirale di Archimede r(θ) = a θ (a > 0) per 0 θ 2π;

2/3 2/3

§

(iv) lunghezza totale dell’asteroide x + y = 1.

1

Le prime due curve sono di classe C in forma cartesiana, quindi senz’altro regolari (e semplici) e il calcolo

si effettua usando la formula x

Z 1 p 0 2

1 + f (x) dx.

L = x

0

Parabola: 1

Z p 2

1 + 4x dx

L = 0

Ricordiamo che questo integrale si può calcolare in vari modi. Un primo modo è utilizzare delle tavole di

©©...).

integrali o gli appunti dell’anno passato (e dato che questo è ammesso, l’esercizio è classificato Un

secondo modo è la sostituzione trigonometrica 2x = tan t. Un terzo modo utilizza le funzioni iperboliche

−t −t

t t

−

e e e + e

sh t = , ch t = ,

2 2

dotate delle proprietà 0 0 2 2

(sh t) = ch t, (ch t) = sh t, 1 + sh t = ch t;

con la sostituzione 2x = sh t si ha subito −2t

2t −

Z Z Z

1 1 e e t 1

p −2t

2 2t

2 ·

1 + 4x dx = ch t dt = (e + e + 2)dt = + = (sh t ch t + t);

2 8 16 4 4

ora osserviamo che p p

2 2

sh t = 2x, ch t = 1 + sh t = 1 + 4x ,

mentre t si può ricavare come segue

−t

t t 2 t

− − −

e e = 2 sh t = 4x =⇒ (e ) 4x(e ) 1 = 0

da cui (scartando la radice negativa, l’esponenziale è positivo)

p

t 2

1 + 4x .

e = 2x +

Finalmente Z x 1

p p p

2 2 2

1 + 4x dx = 1 + 4x + 1 + 4x ).

log(2x +

2 4

In conclusione la lunghezza dell’arco di parabola è

√ √

1 1

L = 5 + log(2 + 5).

2 4

Logaritmo: √ √

8 8

Z Z dx

p

p 2 2

L = 1 + (1/x) dx = x + 1

√ √ x

3 3

√ √

2 2 2 2

− −

usiamo l’astuta sostituzione x + 1 = t e abbiamo (x = t 1, dx = dt/ t 1)

2 2 − −

Z Z

Z dx t t 1+1 1 t 1

p 2

x +1 = dt = dt = t + log

2 2

− −

x t 1 t 1 2 t +1

√ √

e dato che a x = 3 corrisponde t = 2, a x = 8 corrisponde t = 3, otteniamo

1 2 1 1 1 3

− −

L = 3 + log 2 log = 1 + log .

2 4 2 3 2 2

Spirale di Archimede: la curva è data in coordinate polari come r = r(θ), ossia in forma parametrica esplicita

φ(θ) = (r(θ) cos θ, r(θ) cos θ).

1

2

Ne segue (come sappiamo) che la lunghezza dell’arco è espressa dall’integrale

θ

Z 1 p 0 2 2

r (θ) + r(θ) dθ

L = θ 0

e nel caso r(θ) = aθ otteniamo 2π 2π

Z Z p

p 2 2 2 2

L = a + a θ dθ = a 1 + θ dθ.

0 0

Procedendo come sopra si ottiene

Z θ 1

p p p

2 2 2

1 + θ dθ = 1 + θ + 1 + θ )

log(θ +

2 2

e quindi a

p p

2 2

L = aπ 1 + 4π + 1 + 4π ).

log(2π +

2 −1

L’asteroide è simmetrico rispetto agli assi, inoltre i suoi punti hanno coordinate comprese fra e +1 come

si verifica subito. Il grafico è composto da quattro archi simmetrici, quindi la lunghezza è quattro volte

quella dell’arco nel primo quadrante. Si può procedere in vari modi, ad esempio esplicitando

2/3 3/2

− ≤ ≤

y = f (x) = (1 x ) , 0 x 1

o anche parametrizzando l’arco come 3

3

φ(t) = (cos t, sin t).

Notiamo che in queste rappresentazioni la curva non è regolare agli estremi (infatti sono presenti delle

2/3 2/3

cuspidi). Un modo di abbreviare i calcoli è il seguente: la funzione y = f (x) soddisfa l’identità x +y = 1,

e derivando si ottiene 2

2 −1/3 −1/3 0

x + f f =0

3 3

da cui 0 −1/3

1/3

−f

f (x) = (x) x

e quindi x x x

Z Z Z

1 1 1

p p

p −1/3

0 −2/3

2 2/3 2/3 2/3

L = 1 + f (x) dx = 1 + f x dx = x + f x dx.

x x x

0 0 0

Ma la quantità sotto radice è uguale a 1 quindi

x

Z 3

1 2/3 2/3

−1/3 −

(x x ).

L = x dx = 1 0

2

x 0

Scegliendo come estremi di integrazione 0 e 1 (o piú correttamente, facendo tendere x a 0 e x a 1 dato che

0 1

agli estremi la funzione f non è regolare) otteniamo che L = 3/2, mentre la lunghezza totale dell’asteroide

è esattamente uguale a 4L = 6.

R

© – 2) Calcolare ω nei casi seguenti:

γ −

ω(x, y) = (x + y)dx + (x y)dy, γ = arco di circonferenza unitaria fra (1, 0) e (0, 1)

dx 2 2 2

ω(x, y) = + (x + y )dy, γ = arco di parabola y = x fra (1, 1) e (2, 4)

x + y −

ω(x, y, z) = y dx z dy + x dz, γ = segmento fra (0, 0, 1) e (1, 1, 2).

Queste forme sono chiuse? hanno una primitiva, ossia sono esatte? e in caso affermativo quali sono tutte le

primitive? [Nota: per rispondere alla seconda domanda, risolvere direttamente le equazioni D f = ω , . . . ].

1 1

Per la prima forma possiamo parametrizzare γ come ≤ ≤

γ(θ) = (cos θ, sin θ), 0 t π/2

e abbiamo subito π/2

Z Z

− −

(x + y)dx + (x y)dy = [(cos θ + sin θ)(− sin θ) + (cos θ sin θ) cos θ]dθ

γ 0 3

ossia π/2

π/2 Z

Z 1 θ=π/2

2

2 −

− − [cos 2θ sin 2θ]dθ =

[cos θ sin θ 2 sin θ cos θ]dθ = [sin 2θ + cos 2θ]

θ=0

2

0

0

e quindi Z −1.

ω =

γ

Notiamo poi che la forma è chiusa, in quanto −

D ω = D (x + y) = 1, D ω = D (x y) = 1.

2 1 2 1 2 1

Cerchiamo di capire se la forma è anche esatta: se ω = df deve essere −

D f = ω = x + y, D f = ω = x y.

1 1 2 2

Risolviamo la prima equazione: 2

x

D f = x + y =⇒ f (x, y) = + xy + C(y)

1 2

dove C(y) è una funzione arbitraria della sola y; vediamo se una funzione di questo tipo può risolvere anche

−

la seconda equazione: sostituendo in D f = x y otteniamo

2 2

y

0 0

− −y − + α

x + C (y) = x y =⇒ C (y) = =⇒ C(y) = 2

dove α è una costante arbitratia. Quindi effettivamente le funzioni

2 2

x y

−

f (x, y) = + xy + α

2 2

∈

al variare di α sono (tutte e sole) le primitive di ω. A questo punto possiamo rispondere in modo piú

R

semplice alla prima domanda: Z − −1

ω = f (0, 1) f (1, 0) =

γ

come sapevamo già.

Seconda forma: parametrizziamo la parabola come 2 ≤ ≤

γ(x) = (x, x ), 1 x 2

e otteniamo 2 2

Z Z Z

1 1

1 3 5

2 4 −

ω = + 2x + 2x dx

+ (x + x )2x dx =

2

x + x x 1+ x

γ 1 1

da cui x=2

4 6

Z x x x 4 57

ω = log + + = log + .

x +1 2 3 3 2

γ x=1

La forma non è chiusa (e quindi non può essere esatta = non ha primitive):

1 1 2 2

−

D ω = D = , D ω = D (x + y ) = 2x

2 1 2 1 2 1

2

x + y (x + y)

che sono diverse. Se testardamente si vuole lo stesso cercare una primitiva il tentativo fallisce:

1

D f = =⇒ f (x, y) = log(x + y) + C(y)

1 x + y

e quindi 1 0

2 2 2 2

D f = x + y =⇒ + C (y) = x + y

2 x + y

0

ma nessuna funzione C (y) può soddisfare questa identità (perché?).

Terza forma: possiamo parametrizzare il segmento come ≤ ≤

φ(t) = (t, t, t + 1), 0 t 1

ed abbiamo subito 1

Z Z 2 t=1

· − · · −

ω = [t 1 (t + 1) 1 + t 1]dt = (t /2 t) = 0.

t=0

γ 0

4

La forma non è chiusa: notare che devono essere vere TRE relazioni:

D ω = D ω , D ω = D ω , D ω = D ω ,

1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2

ma ad esempio abbiamo 6

D ω = 1 = D ω = 0.

1 2 2 1

§ {(x, 6

– 3) Sia Ω = y) : x + y = 0}, e sia x

y −

dx dy.

ω = 2 2

(x + y) (x + y)

Determinare se ω(x, y) è chiusa, esatta, e in caso affermativo calcolarne tutte le primitive. In generale, se

n

ω(x) è una forma esatta su un aperto Ω di , con primitiva f , come si possono descrivere tutte le altre

R

primitive di ω? Chiusura: − −

y x y x x y

−D

D ω = D = , D ω = =

2 1 2 1 1 1

2 2 2 2

(x + y) (x + y) (x + y) (x + y)

quindi la forma è chiusa e potrebbe avere una primitiva. Proviamo a calcolarla:

y

y −

=⇒ f (x, y) =

D f = + C(y)

1 2

(x + y) x + y

(abbiamo integrato in x considerando y fissata); introducendo questa funzione nella seconda condizione si

ottiene la relazione x x x

0

− − −

D f = =⇒ + C (y) =

2 2 2 2

(x + y) (x + y) (x + y)

da cui chiaramente si ha che C(y) deve essere una costante. Abbiamo quindi ottenuto le funzioni

y

− + α

f (x, y) = x + y

che sono primitive della forma data ω su tutto l’aperto Ω su cui essa è definita. Notare però che l’aperto è

formato da due semipiani disgiunti, il che vuol dire che ha due componenti connesse:

∪ {(x, −y}, {(x, −y}.

Ω = Ω Ω , Ω = y) : x > Ω = y) : x <

1 2 1 2

La costante arbitraria α si può anche scegliere diversa sulla prima e sulla seconda componente; quindi la

risposta completa dell’esercizio è che le primitive di ω sono tutte e sole le funzioni

y

 − −y

+ α per x >

1

 x + y

f (x, y) = y

− −y

+ α per x <

2

 x + y

al variare di α e α in R.

1 2

In generale, se f è una primitiva di ω su Ω, una qualunque altra primitiva g deve verificare la condizione

−

dg = df = ω =⇒ d(f g) = 0

−

e quindi la differenza f g è costante su ciascuna componente connessa di Ω. Questo equivale a dire che

ogni altra primitiva g si ottiene da f sommando ad f , su ogni componente connessa di Ω, una costante

(arbitraria) che può anche non essere la stessa da componente a componente.

y y 2 x

§© – 4) Data la forma ω(x, y) = e dx + (1 + xe )dy, calcolare il suo integrale sulla curva y = x + e cos x

fra i punti di as