Ingegneria industriale - gestione degli Impianti Industriali

DEGD GR DEDQN ,FEN D DEDDD DEDDD

DEG- . DEDGF ,FEQ D DEDDD DEDDD

DEFD GR DEDQN ,FEO D DEDDD DEDDD

DEF- GF DEDON ,FEF G DEDDO DEDDO

DE.D GO DED-Q ,FED Q DEDFO DEDFN

DE.- GG DEDOO ,GEN Q DEDFO DED-F

DEOD GG DEDOO ,GEQ GD DEDOD DEDMF

DEO- GQ DEDQO ,GEO - DEDFD DEGGF

DE-D G. DED-F ,GEF GF DEDON DEGQD

DE-- G. DED-F ,GED G- DEDQD DEFFD

DEQD GG DEDOO ,DEN FD DEDND DE.DD

DEQ- FD DEDND ,DEQ G. DED-F DE.-F

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DER- G- DEDQD ,DEF FG DEDNO DE-FN

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B<95>

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ESERCITAZIONE E52

PROGRAMMAZIONE LINEARE

RICHIAMI DI TEORIA

tab. 1 Elementi del problema nel caso canonico

OBIETTIVO Massimizzare i ricavi e/o minimizzare i costi

VINCOLI Risorse limitate

PROBLEMA Definire la migliore combinazione quantitativa dei prodotti realizzabili con l’impiego delle

risorse disponibili

IPOTESI Linearità tra quantità prodotte e assorbimento di risorse;

costanza dei prezzi e dei costi unitari

tab. 2 Definizione matematica di un problema di programmazione lineare

Grandezze Simbolo Valore Note

Prodotti j = 1, 2,...n n prodotti diversi

Risorse o Fattori di produzione i = 1, 2,...m sono m e si combinano in quantità

diverse per la produzione degli n

prodotti

Disponibilità dei fattori di produzione b i = 1, 2,...m nell’unità di tempo

i

Coefficienti di assorbimento o a i = 1, 2,...m quantità di un dato fattore i

ij

consumi unitari dei fattori di produzione j = 1, 2,...n necessario ad ottenere una unità di

prodotto j (costanti nel B.P.)

Quantità prodotte x j = 1, 2,...n nell’unità di tempo

j

Coefficienti della funzione obiettivo c j = 1, 2,...n possono essere:

j - costi unitari

- ricavi unitari

- utili unitari

n

Funzione obiettivo Z - funzione di costo da minimizzare

∑ c x

j j

= - funzione utile o ricavo da

j 1 massimizzare

(nell’unità di tempo)

Vincoli sulle risorse Funzione di produzione (campo di

n ≤

∑ a x b soluzioni tecnicamente possibili)

ij j i

=

j 1

i = 1, 2,...m

≥

Vincoli fisici x 0

j ≤

x x

j j max

j = 1, 2,...n

Soluzione Z* Z ottimo

x * j = 1, 2,...n combinazione produttiva che

j determina Z*

∂

Z * valore marginale della risorsa j

∂

b j E52-1

TESTO ESERCITAZIONE

Un’impresa ha a disposizione, per un dato periodo, 4800 ore di lavoro di una data macchina e 2000 ore di

lavoro di personale. Con tali risorse può realizzare due differenti produzioni per le quali i dati caratteristici

sono mostrati in tab. 3.

tab. 3 x

Produzione ore-macchina/unità ore-uomo/unità utile unitario x

min max

[h/u] [h/u] [E/u] [u] [u]

A 2,5 0,5 1,00 0 1500

B 3,0 2,0 1,80 0 1000

Per ragioni tecniche la produzione di B non può superare, in quantità il doppio della produzione di A.

Determinare il massimo utile, la corrispondente combinazione produttiva e l’utilità marginale delle risorse.

CALCOLI le unità di prodotto A realizzate nel periodo

Siano: x A le unità di prodotto B realizzate nel periodo

x B

La funzione obiettivo è rappresentata dall’utile del periodo che risulterà pari a: Z = 1 x + 1,8 x [E]

A B

e che, quindi, deve essere massimizzato.

I vincoli sono i seguenti:

≤

+ 3 x 4800 (disponibilità di ore-macchina)

2,5 x A B ≤

0,5 x + 2 x 2000 (disponibilità di ore-uomo)

A B

≤

x 2 x (vincolo tecnico)

B A

≤

x 1500 (vincolo fisico)

A ≤

x 1000 (vincolo fisico)

B ≥

x 0 (vincolo fisico)

A ≥

x 0 (vincolo fisico)

B

Il problema può essere facilmente risolto su foglio elettronico impostando la funzione obiettivo e tutte le

funzioni di vincolo ed utilizzando il RISOLUTORE di Excel imponendo di massimizzare la funzione

obiettivo.

Per chiarire il procedimento seguito facciamo riferimento alle fig. 1 e 2. Nella prima è rappresentata la

tabella, in foglio elettronico, contenente i dati (ore-macchina, ore-uomo, utili unitari), i vincoli (ore-

macchina, ore-uomo, vincoli tecnici e vincoli fisici), i valori iniziali (XA = XB = 100); la fig. 2 rappresenta

invece i contenuti delle singole celle della tabella di fig. 1.

fig. 1 Impostazione del foglio di calcolo

A B C D E F G

1 A B DISPONIBILITÀ

2

3 ORE MACCHINA 2,5 3 h/u

4 ORE UOMO 0,5 2 h/u

5

6 UTILI UNITARI 1 1,8 E/u

7 VINCOLI FISICI INF 0 0 u

8 VINCOLI FISICI SUP 1500 1000 u

9

10 ORE MACCHINA 550 <= 4800 h

11 ORE UOMO 250 <= 2000 h

12 VINCOLI TECNICI 100 <= 200 u

13

14 XA XB UTILE MASSIMO

15 SOLUZIONE 100 100 280 E

16

17 E52-2

fig. 2 Contenuto delle celle del foglio di calcolo

A B C D E F G

1 A B DISPONIBILITÀ

2

3 ORE MACCHINA 2,5 3 h/u

4 ORE UOMO 0,5 2 h/u

5

6 UTILI UNITARI 1 1,8 E/u

7 VINCOLI FISICI INF 0 0 u

8 VINCOLI FISICI SUP 1500 1000 u

9

10 ORE MACCHINA =B4*$B$16+C4*$C$16 <= 4800 h

11 ORE UOMO =B5*$B$16+C5*$C$16 <= 2000 h

12 VINCOLI TECNICI =C16 <= =B16*2 u

13

14 XA XB UTILE MASSIMO

15 SOLUZIONE 100 100 =B7*B16+C7*C16 E

16

17

Una volta impostato il foglio di calcolo basta avviare il RISOLUTORE dal menu STRUMENTI e procedere

come di seguito:

1. nella casella Imposta la cella digitare il riferimento della cella obiettivo (E16);

2. poiché si desidera che la cella obiettivo assuma il valore massimo, selezionare l'opzione Max;

3. nella casella Cambiando le celle digitare il riferimento delle celle variabili, utilizzando punti e virgola

per separare le varie voci (B16;C16);

4. nella casella Vincoli immettere i vincoli che si desidera applicare (per esempio: C11 <= E11);

5. premere il pulsante Risolvi.

Per memorizzare i valori della soluzione nel foglio di lavoro, selezionare l'opzione Mantieni la soluzione

del Risolutore nella finestra di dialogo “Risultato del Risolutore”; per ripristinare i valori originali,

selezionare l'opzione Ripristina i valori originali.

Nella finestra di dialogo “Risultato del Risolutore” esiste anche la possibilità di scegliere un rapporto sulla

soluzione trovata dal Risolutore; esistono tre tipi di rapporti (valori, sensibilità, limiti); nel caso in esame

ricorreremo solo al rapporto valori (gli altri rapporti vengono utilizzati a livelli superiori, che esulano dalla

presente esercitazione).

Il Rapporto valori relativo all’esempio considerato si presenta nella forma di fig. 3; esso contiene

informazioni sui valori contenuti nella cella obiettivo e nelle celle variabili prima e dopo la risoluzione

nonchè informazioni dettagliate sui vincoli (riferimento della cella, nome, formula) e sui valori assunti nel

caso della soluzione fornita dal Risolutore; nel caso in esame ci dice che le ore macchina utilizzate, in

corrispondenza dell’utile massimo, sono 4800 e quindi la condizione che avevamo posto (< 4800 h) risulta

“vincolante” (N.B. nel senso attribuito alla parola da Excel: ovvero la disponibilità della risorsa viene

utilizzata completamente); analogo discorso si può fare per le ore uomo in quanto vengono utilizzate tutte

le 2000 ore disponibili. Nel rapporto valori gli altri vincoli risultano “non vincolanti” nel senso che i valori

effettivi assunti dalle variabili in corrispondenza dell’utile massimo sono entro i limiti fissati.

E52-3

fig. 3 Rapporto valori

Microsoft Excel 9.0 Rapporto valori

Foglio di lavoro: [E52.xls]Calcolo

Data di creazione: 30/11/2001 11.33.36

Cella obiettivo (Max)

Cella Nome Valori originali Valore finale

$E$16 SOLUZIONE UTILE MASSIMO 280,00 2365,71

Celle variabili

Cella Nome Valori originali Valore finale

$B$16 SOLUZIONE XA 100,00 1028,57

$C$16 SOLUZIONE XB 100,00 742,86

Vincoli

Cella Nome Valore della cella Formula Stato Tolleranza

$C$11 ORE MACCHINA B 4800 $C$11<=$E$11 Vincolante 0

$C$12 ORE UOMO B 2000 $C$12<=$E$12 Vincolante 0

$C$13 VINCOLI TECNICI B 742,86 $C$13<=$E$13 Non vincolante 1314,29

$B$16 SOLUZIONE XA 1028,57 $B$16>=0 Non vincolante 1028,57

$C$16 SOLUZIONE XB 742,86 $C$16>=0 Non vincolante 742,86

$B$16 SOLUZIONE XA 1028,57 $B$16<=$B$9 Non vincolante 471,43

$C$16 SOLUZIONE XB 742,86 $C$16<=$C$9 Non vincolante 257,14

CALCOLO DELL’UTILITÀ MARGINALE DELLE RISORSE

Il valore marginale di una risorsa vincolante è la variazione della funzione obiettivo che si può ottenere a

seguito di un incremento unitario della disponibilità della stessa risorsa.

Nel caso in esempio entrambe le risorse ore-macchina e ore-uomo vengono assorbite completamente per

ottenere la soluzione ottimale, per ciò per entrambe è possibile eseguire il calcolo del valore marginale,

così come mostrano le fig. 4 e 5.

Per eseguire il calcolo del valore marginale della risorsa ore-macchina copiamo l’intero contenuto del foglio

precedente in un nuovo foglio dello stesso file, modifichiamo la disponibilità della risorsa in questione

aumentandola di una unità e avviamo nuovamente il risolutore; in questo modo otterremo un nuovo valore

(Z *) della funzione obiettivo corrispondente ad una nuova combinazione ottimale dei fattori. Il valore

1

marginale della risorsa ore-macchina sarà quindi pari a:

val. marg. ore-macchina = (Z *-Z*) / (1 u)

1

In modo del tutto analogo si può procedere per il calcolo dell’utilità ma