Il cerchio di Mohr per studenti universitari e non solo

Teorema di Cauchy

Sul piano della superficie vengono indicate con la lettera σ le tensioni tangenziali e sono dette tensioni di tensione. Il primo tipo di tensione τ è caratteristico degli sforzi di tensione (come nel caso dell'esempio sopra proposto) e di compressione. Il Teorema di Cauchy afferma che la conoscenza dello stato tensionale su tre distinte giaciture tra loro ortogonali, cioè le nove componenti sopra descritte, è sufficiente per determinare le tensioni su ogni altra giacitura passante per il punto considerato. È importante notare che il tipo di tensione che si genera all'interno di un corpo può dipendere certamente da come vi vengono applicate le forze, ma anche dall'orientamento della superficie.

Infatti due forze uguali e contrarie disposte allineate sullo stesso asse daranno origine ad uno sforzo di pura trazione o compressione su una superficie perpendicolare al loro asse, ma genereranno anche tensioni tangenziali su una ipotetica superficie inclinata rispetto all'asse, sulla quale la reazione interna allineata con la forza dovrà essere scomposta in componente normale e tangenziale. 1.3 Stato di tensione piana Quando una delle tensioni principali σ1, σ2 o σ3 ha valore nullo, sono nulle tutte le componenti di tensione.₁₁, ₁₂, ₁₃, ₂₁, ₂₂, ₂₃, ₃₁, ₃₂, ₃₃)σ ).(x̂, (x̂ ), con la lettera quindi le terne saranno del tipo , ,na o , , impiegando anche i pedici al posto deiŷ, ẑ) x̂ x̂ 11 12 131 2 3 1x y z 4che compariranno nel prosieguo della trattazione. Conservazione del momento della quantità di moto2 3 © Nicola Genuin 2021Wellcome Open Research Overleaf template for LTEX Pagina 3 di 19A Il cerchio di Mohrstato di tensione pianae si parla di in quanto si hannoquattro componenti di tensione (o meglio tre, data l’equi-valenza fra le due tangenziali) disposte lungo due soledirezioni principali (in questo caso e o analogamen-î ĵ,te 1̄ e 1̄ ) e quindi contenute in un piano, non più nello1 2spazio.Si consideri ora un fascio di piani di asse (o 1̄ che dirk̂ 3si voglia), che sarà descritto da un versore appartenen-n̂te al piano e ottenuto mediante una rotazione rigidaî ĵ ϕantioraria di angolo a partire dal versore î: ϕcos ϕ= ϕ + ϕ = sincos sin (4)n̂ î ĵ  0Dunque laLa tensione sul generico piano di normale è data da un vettore appartenente al piano e siî ĵ, per la 4: otterrà dalla moltiplicazione della 3: _σ ϕ + _τ ϕcos ϕ sin 11 12 _τ ϕ + _σ ϕ= cos ϕ sin ·T (5) n̂ 12 22 Questo vettore è decomponibile ovviamente in una com-_σponente normale al piano (lungo la direzione del ver-nsore moltiplicando ancora la 5 per la matrice traspostan̂)= [cos ϕ ϕ]^T sin del versore ed una componenten̂ n̂, τ τtangenziale (o ) lungo la direzione:m nm Figura 1. Scomposizione delle componenti della[11]tensione interna e sezione piana elementare. ϕ− sinϕ= ϕ + ϕ = cos− sin cos (6) m̂ î ĵ 0 appartenente sempre al piano ma ruotata di un angoloî ĵ,π orario rispetto alla direzione che si otterrà moltipli-n̂,2 = [sin ϕ ϕ]^T −coscando la 5 per la matrice trasposta m̂del versone Si ha dunque: m̂.σ = (TT · ·n̂ n̂)n

= σ ϕ + σ ϕ + ϕ ϕ2 2cos sin 2τ sin cos11 22 12τ

= (TT · ·m̂ n̂)m 2 2= (σ σ ) ϕ ϕ τ (sin ϕ ϕ)− − −sin cos cos22 11 12

Queste due formule possono essere semplificate utilizzando le trasformazioni trigonometriche, ottenendo in definitiva:

σ σσ + σ −11 22 11 22+ + τσ = cos 2ϕ sin 2ϕ12n 2 2

σ σ−11 22τ = + τ− sin 2ϕ cos 2ϕ12m 2 ϕ [0, π],∈

Al variare dell’angolo i valori delle due componenti , compongono un vettore che descrive m m (σ, τ), cerchio di Mohr, un cerchio in un piano detto dicentro:

σ + σ 11 22= ,0 (7)

C 2e raggio: v σ σ 2−t 11 22= + τ212 (8)

© Nicola Genuin 2021

Wellcome Open Research Overleaf template for LTEX Pagina 4 di 19A Il cerchio di Mohr

σ τ. σ− Definendo la media fra le tensioni principali e2 Il cerchio di Mohr 11σ

:122.1 Costruzione σ + σ11 22σ̄ = (10)Supponiamo di avere sempre il nostro volumetto cubico 2di materiale isotropo, e di prelevarne ora una fettina suffi- centroil del cerchio di Mohr già espresso nell’equazionecientemente sottile da poterla considerare piana, in modo 7 diventerà semplicemente:da analizzare al suo interno lo stato di tensione, appun-to, piano. Si noti che il termine tensione piana non deri- = (σ̄, 0) (11)Cva propriamente dall’abitudine operativa di rappresentarel’elementino fondamentale in due sole dimensioni, quan- e si troverà sull’asse delle ascisse esattamente nel pun-to piuttosto dal fatto che, come detto in precedenza, si to medio fra i due punti corrispondenti agli sforzi massi-considera una fascio di piani il cui asse coincide con una (σ (σσ = mi sulle direzioni principali, , 0) e , 0). Ne con-delle direzioni principali (3), posto 0, analizzando 11 2233 segue che, in

termini operativi, la differenza fra questile tensioni che agiscono sui piani del fascio in direzioni due punti rappresenterà il diametro del cerchio, e quin-sempre scomponibili in componente normale e tangenzia- (σ σ )/2;−raggiodi il sarà pari a non deve trar-le al piano del fascio considerato nel sistema di riferimen- 11 22 anche delre in inganno la presenza, nell’equazione 8,to del piano 1-2; dunque si rappresenta l’elementino fon- τtermine , trattandosi in quel caso di una trattazio-damentale come un quadrato piano nello spazio 1-2 e di 12ne in termini matematici che esprime il raggio del cer-normale 3, ma si analizzano le tensioni sui piani che si svi- chio in funzione della formula di una circonferenza nelluppano, in termini molto pratici, in profondità nel foglio (x + =2− −piano del tipo 0, in particolarea)(x b) ye che ruotano sull’asse dato dalla normale al foglio stesso. (σ )(σ )+τ

=2−σ −σ 0. Inoltre, il valore del raggioUna rappresentazione grafica di più facile comprensione 11 22n n mcoincide anche con quello della massima tensione tangen-dove la superficie del volumet-è fornita dalla figura 2, τziale nel punto , che agisce nel piano a 45° rispettoto cubico normalmente utilizzata nella rappresentazione max per il caso di tensionea 1̄ , come mostrato in figura 2dello stato tensionale piano (in figura 1) è colorata in ver- 1 σ = = σ6monoassiale (o trazione pura), con 0 .de. Rispetto al sistema di riferimento nello spazio che si 11 22utilizza, il quadratino piano sarà disposto in modo tale daavere la normale parallela all’asse determinato dal verso-re 1̄ o e si troverà quindi parallelo al piano 1-2 ( ok̂, î ĵ),3 Tancor meglio contenuto in esso. Il tensore delle tensionidell’equazione 3 può essere riscritto in modo più semplicecome: σ τ• ˜11

12=T (9)τ σ2D 12 22

Sul quadratino piano in esame, si troveranno quattro cop-pie di tensioni distribuite sui quattro lati, secondo versiche varieranno in funzione del tipo di sollecitazione. Siprenda il caso in cui:

• sui due lati disposti in direzione 1 (orizzontale in fi-σgura 1) agiscono due tensioni normali (sforzi) di22verso discorde e modulo equivalente, e due tensio- σ τ
• sui due lati disposti in direzione 2 (verticale in figu- ra 1) agiscono due tensioni normali (sforzi) di11 verso discorde e modulo equivalente

Per tracciare il cerchio di Mohr però non è sempre neces- sario conoscere tensioni e direzioni principali, anzi il caso verso discorde e modulo equivalente