Homework 02 - Meccanica Computazionale

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VB Ddove è la matrice delle derivate delle funzioni di forma, tensore costitutivo elasticondel materiale e il numero di nodi che forma l’elemento.Per calcolare l’integrale ho bisogno prima di tutto di determinare le equazioni diforma quadratiche. Le funzioni di forma dell’elemento tetraedrico possono essere scritte, L , L , L Lin termini di coordinate volumetriche (L ). Ogni coordinata è definitai1 2 3 4come il rapporto tra il volume formato dal punto centrale dentro l’elemento(P) e lai,faccia opposta al nodo e il totale del volume.P jklVL =i (e)VLa somma delle quattro coordinate volumetriche dovrà essere 1(pari al volume totale).In termini di coordinate cartesiane è:l b x c y d z)L (a + + +=i i i i i(e)6V η, ζ):Mentre in termini di coordinate naturali(ξ,− − −L ξ η ζ L ξ L η L ζ= 1 ; = ; = ; =1 2 3 44 CAPITOLO 1. "HOMEWORK 02" DE MORI GABRIELE(MAT:1233954)Ora, per

esprimere le funzioni di forma per ogni nodo, ho bisogno di definire I,J,K,L che sono i pesi da assegnare, rispettivamente, alle funzioni ,L ,L ,L per ricavare le funzioni di forma pesate per ogni nodo in base alla formula:

N_i = (L_i) + (L_j) + (L_k) + (L_l)

dove (L_i) è il polinomio interpolatore di Lagrange normalizzato avente grado i

IL i. I J K L Me passante per il nodo Essendo che + + + = =grado del polinomio

j M delle funzioni di forma (in questo caso quadratiche, quindi = 2) i nodi che stanno ai

vertici avranno un peso pari a 2 e corrispondenti alla propria coordinata volumetrica

i J (per esempio: = 3 ⇒ = 2), mentre i nodi centrali avranno un peso sempre di

2 ma distribuito equamente tra le due coordinate volumetriche presenti (per esempio:

i I K = 6 ⇒ = 1, = 1):

numero nodo Coorinate Volumetriche Coordinate naturali

ξ η ζ

1 2 0 0 0 0 0 0

2 1 1 0 0 1/2 0 0

3 0 2 0 0 1 0 0

4 0 1 1 0 1/2 1/2 0

5 0 0 2 0 0 1 0

6 1 0 1 0 0 0 1