Geotecnica - Esercizi vari

R

punto a b 1 2 3

A 12 12 26.83 26.83 29.39 8.40 8.40

B 12 6 24.74 26.83 27.50 4.75 9.51

C 6 6 24.74 24.74 25.46 2.70 10.81

2 =

Risultante del carico applicato: Q = q L 14400 kN

Incremento di tensione verticale prodotto da un carico concentrato Q in un punto del semispazio

alla profondità z e alla distanza x dalla verticale di applicazione:

3 5

∆σ(z) / 2πR

= 3Qz

2 2 0.5

R = (x + z ) ∆σ(z) ∆ (%)

punto x (m) R (m)

A 8.49 25.46 8.89 5.8

B 6.00 24.74 10.26 7.9

C 0.00 24.00 11.94 10.4 5

Esercizio 6

Determinare la tensione verticale indotta da una pressione uniforme di intensità p, agente su una

corona circolare di raggio interno Ri e raggio esterno Re = 2Ri, su semispazio elastico omogeneo

e isotropo, in corrispondenza del centro dell'area di carico alle profondità Z indicate in tabella.

Dati:

p = 150 kPa

Ri = 6m

Z = 0 0,5Ri Ri 1,5Ri 2Ri 5Ri 10Ri 20Ri

Soluzione

La tensione verticale indotta da una pressione uniforme agente su un'area circolare di raggio R su

semispazio elastico omogeneo e isotropo, in corrispondenza del centro alla profondità z è data da:

2 3/2

σ = p [1 - 1 / [1 + (r / z) ] ] La soluzione si ottiene sovrapponendo gli effetti.

z σ

σ /p (kPa)

Z/Ri Z (m) Ri/Z z z σ (kPa)

z

0 0 0.000 0.000 0 20 40 60

0.5 3 2.000 0.075 11.276

1 6 1.000 0.264 39.617 0

1.5 9 0.667 0.360 54.005

2 12 0.500 0.362 54.298

5 30 0.200 0.142 21.368 25

10 60 0.100 0.042 6.348

20 120 0.050 0.011 1.661 50

σ

σ /p (kPa)

Z/Ri Z (m) Ri/Z z z

0 0 0.000 0.000 (m)

0.1 0.6 10.000 0.001 0.129 75

Z

0.2 1.2 5.000 0.007 0.984

0.3 1.8 3.333 0.020 3.069

0.4 2.4 2.500 0.044 6.553 100

0.5 3 2.000 0.075 11.276

0.6 3.6 1.667 0.112 16.870

0.7 4.2 1.429 0.153 22.881 125

0.8 4.8 1.250 0.193 28.884

0.9 5.4 1.111 0.230 34.540

1 6 1.000 0.264 39.617 150

1.1 6.6 0.909 0.293 43.980

1.2 7.2 0.833 0.317 47.578

1.3 7.8 0.769 0.336 50.415

1.4 8.4 0.714 0.350 52.535

1.5 9 0.667 0.360 54.005

1.6 9.6 0.625 0.366 54.902

1.7 10.2 0.588 0.369 55.305

1.8 10.8 0.556 0.369 55.293

1.9 11.4 0.526 0.366 54.935

2 12 0.500 0.362 54.298

2.1 12.6 0.476 0.356 53.438

2.2 13.2 0.455 0.349 52.403

2.3 13.8 0.435 0.342 51.237

2.4 14.4 0.417 0.333 49.973

2.5 15 0.400 0.324 48.641

2.6 15.6 0.385 0.315 47.265

2.7 16.2 0.370 0.306 45.866

2.8 16.8 0.357 0.296 44.458

2.9 17.4 0.345 0.287 43.055 6

3 18 0.333 0.278 41.667

3.5 21 0.286 0.234 35.165

4 24 0.250 0.198 29.630

4.5 27 0.222 0.167 25.075

5 30 0.200 0.142 21.368

5.5 33 0.182 0.122 18.352

6 36 0.167 0.106 15.888

7 42 0.143 0.081 12.179

8 48 0.125 0.064 9.591

9 54 0.111 0.052 7.727

10 60 0.100 0.042 6.348

11 66 0.091 0.035 5.302

12 72 0.083 0.030 4.491

13 78 0.077 0.026 3.851

14 84 0.071 0.022 3.337

15 90 0.067 0.019 2.918

20 120 0.050 0.011 1.661

25 150 0.040 0.007 1.069

Esercizio 7

Calcolare e disegnare i grafici delle tensioni indotte da una striscia indefinita di carico uniforme di

intensità p e larghezza 2b, agente su un semispazio elastico omogeneo e isotropo, su un piano

orizzontale alla profondità b.

(Calcolare i valori nei punti indicati in figura).

2b Dati:

b = 3m

p a = b/3

x p = 100 kPa

E = 10 MPa

b ν = 0.4

a

z

Soluzione: 2b

Con riferimento alla simbologia di figura,

si utilizzano le seguenti formule: p

(gli angoli sono espressi in radianti) x

π)

σ = (p / [α + senα cos(α + 2δ)]

z

σ π)

= (p / [α - senα cos(α + 2δ)]

x

σ π) α)

= 2 (p / (ν

y

τ π)

= (p / senα sen(α + 2δ) α δ

xy δ)

(α + = arctan[(x + b) / z]

δ = arctan[(x - b) / z] z 7

α

α δ δ

+ σ σ σ τ

x (m) z (m) z x y xy

0.0 3 0.785 -0.785 1.571 81.83 18.17 40.00 0.00

1.0 3 0.927 -0.588 1.515 78.20 18.26 38.59 10.58

2.0 3 1.030 -0.322 1.352 66.63 19.45 34.43 20.22

3.0 3 1.107 0.000 1.107 47.97 22.51 28.19 25.46

4.0 3 1.166 0.322 0.844 28.85 24.89 21.50 23.71

5.0 3 1.212 0.588 0.624 15.64 24.09 15.89 18.11

6.0 3 1.249 0.785 0.464 8.39 21.12 11.81 12.73

7.0 3 1.279 0.927 0.352 4.69 17.72 8.96 8.83

8.0 3 1.305 1.030 0.274 2.76 14.69 6.98 6.22

tensioni alla profondità b

90

80 sigma-z

sigma-x

70 sigma-y

60 tau-xy

50

(kPa) 40

30

20

10

0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

x (m)

Esercizio 8

Calcolare e disegnare il profilo delle tensioni verticali indotte in un semispazio elastico omogeneo

e isotropo da una pressione uniforme q distribuita su un'area quadrata di lato L in corrispondenza

delle verticali per il centro e per lo spigolo dell'area fino ad una profondità pari a 5L.

Dati:

L = 2m

q = 250 kPa

Soluzione:

Si applica l'equazione per il calcolo della tensione in corrispondenza di uno spigolo di un'area a x b.:



  

 

q ab abz 1 1

 

 

σ = ⋅ + ⋅ + 

 arc tan

   

z π 2 2

2 zR R R R 

     

 3 3 1 2

= +

2 2 0 .

5

R ( b z )

1 = +

2 2 0 . 5

R ( a z )

2 = + +

2 2 2 0 .

5

R ( a b z )

3 8

per il centro 4 quadrati di lato L/2 per lo spigolo 1 quadrato di lato L

n = 4 n = 1

a = L/2 = 1 a = L = 2

b = L/2 = 1 b = L = 2

verticale per il centro verticale per lo spigolo

σ σ

z/L z (m) R = R R (kPa) R = R R (kPa)

1 2 3 z 1 2 3 z

0.001 0.002 1.000 1.414 250.0 2.000 2.828 62.5

0.2 0.4 1.077 1.470 240.1 2.040 2.857 62.1

0.4 0.8 1.281 1.625 199.9 2.154 2.939 60.0

0.6 1.2 1.562 1.855 151.6 2.332 3.072 55.7

0.8 1.6 1.887 2.135 112.3 2.561 3.250 50.0

1 2 2.236 2.449 84.0 2.828 3.464 43.8

1.2 2.4 2.600 2.786 64.2 3.124 3.709 37.9

1.4 2.8 2.973 3.137 50.2 3.441 3.980 32.6

1.6 3.2 3.353 3.499 40.1 3.774 4.271 28.1

1.8 3.6 3.736 3.868 32.6 4.118 4.578 24.2

2 4 4.123 4.243 27.0 4.472 4.899 21.0

2.2 4.4 4.512 4.622 22.7 4.833 5.231 18.3

2.4 4.8 4.903 5.004 19.3 5.200 5.571 16.0

2.6 5.2 5.295 5.389 16.6 5.571 5.919 14.2

2.8 5.6 5.689 5.776 14.5 5.946 6.274 12.5

3 6 6.083 6.164 12.7 6.325 6.633 11.2

3.2 6.4 6.478 6.554 11.2 6.705 6.997 10.0

3.4 6.8 6.873 6.946 10.0 7.088 7.365 9.0

3.6 7.2 7.269 7.338 8.9 7.473 7.736 8.2

3.8 7.6 7.666 7.730 8.0 7.859 8.109 7.4

4 8 8.062 8.124 7.3 8.246 8.485 6.8

4.2 8.4 8.459 8.518 6.6 8.635 8.863 6.2

4.4 8.8 8.857 8.913 6.0 9.024 9.243 5.7

4.6 9.2 9.254 9.308 5.5 9.415 9.625 5.2

4.8 9.6 9.652 9.704 5.1 9.806 10.008 4.8

5 10 10.050 10.100 4.7 10.198 10.392 4.5

∆σ (kPa)

v

0 50 100 150 200 250 300

0

2

4

(m)

z 6 centro

8 spigolo

10 9

Esercizio 9

Determinare la pressione verticale indotta alla profondità Z in corrispondenza dei punti a, b, c, d, e, f

da un carico uniformemente distribuito di intensità q sull'area indicata in figura.

L Dati:

b L (m) = 30

a c Z (m) = 10

q (kPa) = 200

L / 2

b

L d

e

e L / 2

cc f

d

L / 2 L / 2

Soluzione:

Si procede per sovrapposizione di effetti utilizzando la relazione con la quale si calcola la pressione

indotta da una superficie rettangolare (bxl) uniformemente caricata alla profondità z in corrisponden-

za di uno spigolo:  

 

q lb lbz 1 1

∆σ = ⋅ + ⋅ +

 

tan

arc

 

v π 2 2 



zR R

2 R R

 

3 3 1 2

= +

2 2

R l z

1 = +

2 2

R b z

2 = + +

2 2 2

R l b z

3 ∆σ

(m) R (m) R (m)

R /q

rettangolo dimens. l (m) b (m) 1 2 3 v

r (L x L) 30 30 31.62 31.62 43.59 0.244

1

r (L x L/2) 30 15 31.62 18.03 35.00 0.228

2

r (L/2 x L/2) 15 15 18.03 18.03 23.45 0.216

3 R1 R2 R3 l b z I

rett. 1 L x L/2 31.62 18.03 35.00 30 15 10 0.228217

rett. 2 L x L 31.62 31.62 43.59 30 30 10 0.24394

rett. 3 L/2 x L/2 18.03 18.03 23.45 15 15 10 0.215668

48.15309 ∆σ (kPa)

punto v

- r

2r 48.15

a 2 3

+ r

r

b 88.78

2 3

- r + r

r

c 46.28

1 2 3

- r

2r

d 48.15

2 3

3r

e 129.40

3

- r

r

f 5.65

1 3

Esercizio 10

Un serbatoio cilindrico di raggio R trasmette alla superficie del terreno una pressione verticale

uniforme di intensità p. Il terreno di fondazione è costituito da sabbia medio fine N.C. avente

γ φ'.

e angolo di resistenza al taglio La falda è a piano campagna.

peso di volume saturo

Determinare le tensioni totali ed efficaci, verticali e orizzontali, prima e dopo la costruzione del 10

serbatoio nei punti sulla verticale del centro e del perimetro dell'area di carico alle profondità relative

indicate in tabella e tracciarne i profili.

Dati: Per il calcolo degli incrementi di tensione si utilizzino le seguenti

R (m) = 20 equazioni valide per semispazio elastico omogeneo e isotropo.

σ = p I (coordinate cilindriche)

p (kPa) = 200 z z

3

γ (kN/m ) = σ = p I

20.1 r r

φ' σ

(°) = = p I

35 θ θ

3

γ (kN/m ) 10

w µ

I valori dei coefficienti I , I e I sono i seguenti (per = 0.15).

θ

z r

centro bordo centro bordo centro bordo

I I I I I

I

z/R θ θ

z z r r

0.0 1.000 0.500 0.650 0.150 0.650 0.500

0.3 0.977 0.452 0.331 0.168 0.331 0.172

0.5 0.911 0.418 0.181 0.139 0.181 0.092

0.7 0.812 0.387 0.086 0.093 0.086 0.046

1.0 0.647 0.333 0.013 0.070 0.013 0.010

1.5 0.424 0.256 -0.019 0.028 -0.019 -0.011

2.0 0.285 0.196 -0.020 0.009 -0.020 -0.014

Soluzione: φ')

= (1 - sen =

K 0.426

0 3

γ' γ γ

(kN/m ) = - = 10.1

w

tensioni geostatiche: incrementi di tensione efficace: tensioni finali:

γ ∆σ' σ

σ = z = u = u

v0 v z 0

γ ∆σ' σ σ' σ' ∆σ'

u = z = = +

0 w hr r v v0 v

σ' γ' σ ∆σ' σ σ' σ' ∆σ'

= z = - u = = +

θ

v0 v0 o hθ h h0 h

σ' σ' σ σ'

= K = + u

sulla verticale per il centro:

h0 0 v0 v v

σ σ' ∆σ' = ∆σ' σ σ'

= + u = + u

h0 h0 0 hr hθ h h<