Geometria e Algebra - Esercitazione

W W W W W W

1 2 1 2

3 

b) una base ortogonale di R contenente il vettore (

1

, 2 ,

0

) ;



c) una base di W .

3 3 l’applicazione lineare così definita:

2, Sia R R , per ogni .

  

f : f ( x , y , z ) ( hx , y z , z ) h R



h h

 , il nucleo e l’immagine di 

Determinare, per ogni valore di h R f e dire per quali valori di h R

h

l’endomorfismo f è diagonalizzabile.

h

3. Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale in uno spazio affine euclideo E di

3

  

x y z 0



dimensione tre, si considerino la retta r : e il punto P (1,1,1).



  

x z 1



a) Rappresentare un piano passante per P e parallelo ad r.



b) Rappresentare la retta di passante per P e ortogonale ad r.



c) Determinare la distanza tra r e P.

d) Scrivere le equazioni parametriche di una retta per P sghemba con r.

PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA E ALGEBRA (Maggio 2001)

4

1. Nello spazio vettoriale standard R si considerino i vettori : , ,

   

v (

1

,

2 , ,

1

) v ( 0

,

11

, , )

1 2

e , per ogni

   R.

v (

11

, ,

0

,

0

) v ( 0

,

11

, ,

0

)

3 

a) Si determini una base del sottospazio vettoriale W L ( v , v , v ), per ogni  R.

 1 2 3

b) Si dica per quali valori di il vettore v è combinazione lineare dei vettori v , v e v .

 R 1 2 3

In quali casi il vettore v è combinazione lineare in modo unico ?

c) Si determini un sottospazio complementare a per  

W 1.

 4

d) Per quali valori di esistono endomorfismi di R tali che Ker = Im =W ? Si esibisca

 R f f f 

qualche esempio di tali endomorfismi nei casi in cui esistono.

2. Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale in uno spazio affine euclideo E di

3

   

x z 1 x y 1

  

dimensione tre, si considerino le rette r : ed s : , ed i punti P (1,1,1) e

 

   

x y 0 x z 2

 

Q=(0,1, ), per ogni  R.



a) Si determini una rappresentazione della retta per P ortogonale ed incidente la retta r.

b) Si determini una rappresentazione del piano per P parallelo sia ad s che ad r.

c) Si dica per quali valori di la retta passante per i punti P e Q è complanare con la retta s e per

 R

quali valori è ortogonale alla retta r.

PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA E ALGEBRA (Giugno 2001)

4

Si consideri l’endomorfismo  

1. f di R tale che f (1,0,0,0) (

11

, ,

0

,

1

) , f (1,1,0,0) ( 2

,

111

, , ) ,

(1,1,1,0) e (1,1,1,1) .

 

f ( 2 ,

0

,

11

, ) f ( 2 ,

0

,

2 ,

0

)

a) Si determini la matrice di associata alla base canonica.

f

b) Per quali valori di il vettore (0,1,1, ) appartiene ad Im ?

 R f



c) Si determini il complemento ortogonale, rispetto al prodotto scalare standard, di Ker .

f

d) Si dica per quali il vettore (1,-1,1, ) è autovettore di f .

 

2. Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale in uno spazio affine euclideo E di

3

 

x z 1



dimensione tre, si considerino la retta r : ed il piano :

   

x y 2 z 1.

  

x y 0



a) Si dica se r ed sono paralleli.



b) Si rappresenti una retta di parallela ad r ed una retta di ortogonale ad r.

 

c) Si determini la distanza tra la retta r ed il piano .



d) Si rappresenti il piano contenente la retta r ed ortogonale al piano .

PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA E ALGEBRA (Luglio 2001) 4

 

1. Sia ( e . e , e , e ) il riferimento canonico dello spazio vettoriale standard R e sia

1 2 3 4

  il sistema costituito dai vettori , , e

        

S v , v , v , v v e e e v e e v e e e

1 2 3 4 1 1 3 4 2 1 3 3 4 1 3



v e .

4 4 

a) Si determini una rappresentazione cartesiana del sottospazio W L ( S ) .

1

4 4

b) Si esibisca qualche esempio di sottospazio , diverso R , tale che e R .

  

W v W W W

2 1 2 1 2

4

Si determini il nucleo dell’endomorfismo

c) di R tale che , , e

  

f f ( e ) v f ( e ) v f ( e ) v

1 1 2 2 3 3

.



f ( e ) v

4 4

d) Si dica se è diagonalizzabile.

2. Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale in uno spazio affine euclideo E di

3

 

dimensione tre, si considerino la retta r passante per i punti A (1,0,0) e B (0,1,2) ed il piano

: con .

    

x y hz 0, h R

h

a) Si dica per quali valori di h la retta r è parallela al piano e per quali valori di h la retta r è



ortogonale al piano .

h

b) Si dica per quali valori di esiste una sola retta di incidente ed ortogonale alla retta r.



h h

c) Si determini la distanza tra la retta r e il piano .

 h

Si rappresenti il piano contenente l’asse z e parallelo alla retta r.

d)

. PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA E ALGEBRA (Settembre 2001)

4

1. Nello spazio vettoriale standard R si considerino, per ogni i sottospazi vettoriali :

 R.,

= L (1,-1,0,0),(0,1,1,- )) e = L(0,0, ,0),(0,0,0,1)).

 

W Z

 

a) Determinare una base di W e di Z , al variare di in R.



 

b) Dire per quali valori di la somma W + Z è diretta.

   4

c) Mostrare un esempio di endomorfismo di R tale che Ker = Im =W .

f f f 1

d) Determinare una rappresentazione cartesiana di .

Z 0 4



e) Dire per quali valori di risulta (si doti R del prodotto scalare standard).

 

Z W

 

2. Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale in uno spazio affine euclideo E di

3

  

x 1 t

 

dimensione tre, si consideri la retta r : y t .



 

z 2 t



passante per l’origine del riferimento ed ortogonale ed incidente la retta

a) Determinare la retta r' r .

b) Determinare una retta ortogonale sia alla retta che alla retta .

r' ' r r'

è sghemba con l’asse x.

c) Dire se la retta r

d) Rappresentare il piano contenente la retta all’asse x.

e parallelo

r

e l’asse x.

Determinare la distanza tra r

e) PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA E ALGEBRA (Novembre 2001)