Algebra e Geometria - Esercitazione

ALTRO METODO RISOLUTIVO

Pensandoci bene non occorre manco applicare gli orlati, perchè nella matrice che ci viene cioè questa :

(1 0 2

h+2 0 h-1) esiste gia un minore di ordine 2 dato da (1 2

h+2 h-1)

per cui basta risolvere proprio tale determinante: h-1-2h-4=0 => -h-5=0 => h=-5

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta

r :( x-1=0

y+z=0)

e la retta s passante per i punti A (1,1,1) e B (2,1,-1).

a)Dire se le rette r ed s sono complanari.

b)Rappresentare la retta passante per l’origine, ortogonale ed incidente la retta r.

c) Rappresentare il piano passante per l’origine e parallelo sia ad r che ad s.

d)Rappresentare la retta passante per l’origine, complanare sia con la retta r che con la retta s.

a)Dire se le rette r ed s sono complanari.

Trovo i numeri direttori di ambo le rette.

Dato che r e messa in forma cartesiana, li trovo applicando la formula dei minori di ordine 2 presi a segni alterni.

Quindi considero la matrice dei coefficienti di tale forma ed ho:

A = (1 0 0

0 1 1)

Elimino la colonna di A, corrispondente al numero direttore che voglio trovare.

Infatti eliminando la prima colonna di A trovo il determinante del minore di ordine 2, lo calcolo e mi sono già trovato il

primo numero direttore.

l = det (0 0

1 1) => l=0

Per trovare il secondo faccio analogamente.

Elimino la seconda colonna di A, trovo il determinante del minore di ordine 2 che rimane e gli cambio il segno, dato

che i minori devono essere presi a segni alterni.

m = - det (1 0

0 1) => m=-1

Infine elimino la terza colonna di A per calcolare il terzo numero direttore.

n = det (1 0

0 1) => n=1

Per determinare i direttori di s, basta applicare la definizione di numero direttore, (l',m',n') sono numeri direttori di una

retta s se sono le componenti di un vettore non nullo parallelo alla retta s.

In questo caso s passa per due punti A(1,1,1) e B(2,1,-1) quindi possiamo considerare come numeri direttori di s il

vettore AB che ha come componenti la differenza delle componenti omologhe tra A e B, allora i numeri direttori di s

sono:

l' = 2-1 = 1

m' = 1-1 = 0

n' = -1-1 = -2

Per verificare se le due rette sono complanari bisogna fare il sistema tra la rappresentazione cartesiana della retta r e

quella della retta s calcolarne il determinante 4X4

Calcoliamoci la rappresentazione cartesiana di s, dato che quella di r già ce l'abbiamo dalla traccia.

Innanzitutto si trova la rappresentazione parametrica di s sfruttando i suoi numeri direttori ed il passaggio per un punto,

per esempio A, che è il più semplice da considerare.

Quindi una rappresentazione parametrica di s è:

s = (x =1+t

y =1

z =1-2t)

Sostituisco la t nelle altre equazioni ed ho una rappresentazione cartesiana di s:

s = (y =1

2x+z-3 = 0)

Ora, per verificare la complanarità delle due rette facciamo il sistema tra le loro rappresentazioni cartesiane e verifico

se il sistema ottenuto è compatibile:

S = (x-1 = 0

y+z = 0

y =1

2x+z-3 = 0)

Calcolo il determinante della matrice dei coefficienti associata a S:

det (S) = det ((1,0,0,-1),(0,1,1,0),(0,1,0,-1),(2,0,1,-3)=>

Applico Laplace alla prima riga:

det (S) = det (1 0 0 (0 1 1

1 0 -1 +det 0 1 0

0 1 -3) 2 0 1)

det (S) = 0-0+0-0+3+1+0+0+0-2-0-0=2 # 0, quindi le rette r ed s non sono complanari, perchè il sistema non ammette

soluzione, cioè è incompatibile.

b)Rappresentare la retta passante per l’origine, ortogonale ed incidente la retta r.

Consideriamo l'intersezione.

La prima parte ovvero (piano per O ortogonale ad r ) sappiamo che un piano ortogonale ad una retta hanno i

corrispondenti numero direttori paralleli quindi sfruttiamo tale vantaggio e sapendo che i numeri direttori della r che

sono (0,-1,1) imponiamo che devono essere uguali ai numeri direttori del piano. Per cui il piano sarà -y+z+d=0,

facciamo il passaggio per O e si trova che il primo piano è y-z dato che d=0

Per la seconda parte bisogna trovare il piano contenente il punto O e la retta r. Allora imponiamo il fascio per la retta r

avendo:

h(x-1) + k(y+z) = 0 sostituendoci le componenti di O( origine) si ha: -h + 0k = 0 ossia k=1 e h=0 sostituendo ai valori

del fascio otteniamo il secondo piano y+z=0 che rappresenterà assieme al primo la retta che cercavamo.

Ossia (y-z=0

y+z=0)

c) Rappresentare il piano passante per l’origine e parallelo sia ad r che ad s.

Avendo a disposizione i numeri direttori di r che ripeto sono (0,-1,1) ci ricaviamo quelli di s sapendo che

(1 0 0

0 1 1) applicando laplace a tutte e tre le colonne ci ricaviamo che l=0 , m=-1 , n=1

Avendo anche il punto O(origine) basta calcolarci il determinante per arrivare al piano:

(x y z

0 -1 1 => 2x+y+z = 0

1 0 -2)

d)Rappresentare la retta passante per l’origine, complanare sia con la retta r che con la retta s.

Bisogna fare gli stessi calcoli eseguiti al punto b per quanto riguarda il piano passante per O e per r.

Mentre per il piano passante per O e per s si deve prima considerare una rappresentazione cartesiana della retta s

ponendo ad esempio t = x-1 e per sostituzione otteniamo (y -1 = 0

2x+z-3 = 0)

eseguiamo il fascio per s avendo h(y-1) + k(2x+z-3) = 0

Sostituiamo O ed otteniamo h+3k = 0 da cui k = 1 e h = -3

sostituendo tali valori trovati al fascio si ottiene il piano seguente:

2x - 3y + z = 0

Per cui la retta trovata sarà del tipo t' (y+z=0

2x-3y+z=0)

Date due rette r e t, devo trovare un piano che sia ortogonale ad r e passante per t

Supponiamo che le due rette siano:

r : {x+z=0 e t:{x+y+z=0

y=0] x-z=1)

Per prima cosa bisogna cercare il piano contenente t dunque, lo prendo dal fascio...

h(x+y+z)+k(x-z-1)=0

svolgo tutte le operazioni e metto in evidenza per x,y e z

(h+k)x+hy+(h-k)z-k=0 ó

Dalla teoria sappiamo che il generico piano a x+b y+c z+d =0 è ortogonale ad a x+b y+c z+d =0

1 1 1 1 2 2 2 2

a a +b b +c c =0, dove in particolare gli a , b e c sono i coseni direttori dei piani.

1 2 1 2 1 2 i i i

Allora ((h+k),h,(h-k)) sono i coseni direttori del piano che stiamo determinando, mentre (-1,0,1) sono i coseni direttori

della retta con la quale il piano deve essere ortogonale... allora

-1(h+k)+0h+(h-k)=0

Poi svolgi i calcoli; calcoli i valori di h e k che sono dei parametri, per determinare il piano preso dal fascio:

h(x+y+z)+k(x-z-1)=0 [1]

e dunque =>

-1(h+k) + 0h + (h-k) = 0 -h-k+h-k = 0 => -2k = 0

da cui k=0 e allora possiamo scegliere un qualsiasi valore di h (tipicamente 1), perché per qualsiasi suo valore reale, il

prodotto scalare darà 0. Quindi sia h=1 e k=0 si ha:

=>

1·(x+y+z)+0·(x-z-1)=0

x+y+z=0 ℝ

-2k = 0 => k=0 => Per ogni h €

dunque prendiamo un qualsiasi valore di h tipicamente 1 e moltiplichiamolo per h(x+y+z), il piano cercato ha

equazione: x+y+z=0

Quand'è che 3 punti (x0,y0) ,(x1,y1),(x2,y2) sono allineati ?

Per verificare se tre punti sono allineati trovi la retta che passa per due punti e ne dai una rappresentazione cartesiana e

poi vedi se il terzo punto verifica le due equazioni. Se le verifica sono allineati altrimenti non lo sono.

In questo caso visto che sono due distinti valori di h semplicemente i tre punti nn sono allineati indipendentemente da h

Procederi cosi:

Dati A,B e C questi sono allineati se giacciono sulla stessa retta dunque se

AB//AC , allora trovo una terna di direttori di della retta passante per A e B,poi una terna di direttori della retta passante

per A e C e a questo punto verifica che le terne siano proporzionali.

Iniziamo col determinare una rappresentazione ordinaria della retta r.

Passa per A(1,0,-2), B(0,1,-1), una terna di numeri direttori di r è fornita dalle componenti del vettore AB, che si

dimostrano essere uguali a

(x -x ,y -y ,z -z ) se B(x ,y ,z ),A(x ,y ,z ),quindi AB(-1,1,1).

b a b a b a b b b a a a

Si prova che la rappresentazione parametrica di una retta è data da

r:{x = x +x t;y=y +y t;z=z +z t

a ab a ab a ab

Dunque r sarà

{x=1-t;y=t;z=-2+t

Per ottenere una rappresentazione ordinaria eliminiamo i parametri ed avremo

{x+y=1;z-y=-2

Ora risolviamo il punto a:

Prima equazione della retta t da determinare:

h(x+y-2)+k(y-z-1)=0

passa per l'origine dunque -2h=k ponendo h=1 k=-2

x-y+2z=0

Per la seconda equazione si procede in modo analogo e otteniamo

-2x-3y+z+4=0 quindi abbiamo determinato le due equazione della retta;il punto a è concluso;

Per il punto b ricordiamo che una terna di direttori di r è (-1,1,1)

Dunque la prima equazione della retta e quella che a come coefficienti la terna di r cioe-x+y+z+d=0 passa per l'origine

dunque d=0.

La seconda equazione la troviamo in modo analogo al punto a , cioè

h(x+y-1)+k(z-y+2)=0 ed otterrai l'equazione -2x-3y+z+4=0

NOTA: Ciao allora h e k li usi quando ti serve il fascio di piani contenente una certa retta.

Una volta fatti i dovuti prodotti algebrici ti verra un equazione che ha come parametri h e k , a questo punto sostituisci a

x,y,z le coordinate del punto dove passa la retta che ti serve ed il gioco e fatto.

Data la retta r passante per A(0,1,-2) B(1,0,0) e s passante per (1,2,-4)(2,0,0)

Rappresentare il piano alfa contenente r e s

Trovi i due fasci generati dalle rette e poni uguali in un sistema i coefficienti dei due fasci, se esistono valori delle

costanti dei due fasci che rendono uguali queste equazioni sostituisci in una la costante opportuna e trovi l'equazione

del piano comune.

Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale nello spazio, si considerino il piano α di equazione

2x–y+z–2=0 e la retta r contenente i punti A(2,–1,1), B(3,–3,1).

Rappresentare la retta t passante per P(2,1,–1) ortogonale e incidente r.

Si tratta di trovare l'intersezione di due piani che rappresentano la nostra cara e amata retta t! in effeti si può fare in vari

modi ma questo è quello che mi è venuto subito in mente e sembra il + intuitivo.

Dobbiamo quindi trovare un piano che contiene la retta r in modo da imporre l'intersezione e un piano che sia

ortogonale con la retta r stessa e che passi per P, l'intersezione fra questi piani genera la retta t che stiamo cercando.

Per trovare il primo piano prendo l'equazione del fascio generato da r e impogno in modo arbitrario la costante

trovando così un piano del fascio che contiene r e questo è uno dei piani che a me risulta essere -2x-y+z+2=0 e infatti

vediamo che i due punti passante per r soddisfano questa equazione.

Troviamo ora il piano passante per P ortogonale a r, imposto quindi il passaggio per P troviamo che, dalla generica

equazione del piano, d=1 e imponendo che il vettore perpedicolare al piano sia parallelo alla retta cercata otteniamo la

secondo equazione del piano che è x-2y+1=0

ALTRO MODO, MA SENZA