Esercitazione algebra e geometria

Diagonalizzante ortogonale di una matrice

P A P = D. Una matrice è diagonalizzante per se, D con diagonale H. Allora una matrice è diagonalizzante ortogonale se H^-1 = H^T e H A H = D.

Osservazione: una matrice è diagonalizzabile se ammette una matrice diagonalizzante ortogonale se è reale, T(A) = A e simmetrica.

Esistenza di H: Se esiste, come trovo una matrice diagonalizzante ortogonale? Scrivo una base ortonormale di autovettori e metto quei versori come colonne di H.

Esercizi:

1. Se possibile, trovare una diagonale simile ad e la relativa diagonalizzante ortogonale.

A - λI = | |

Scompongo con Ruffini:

P(1) = 4 - 3 - 1 = 0

(λ - 1)(4λ + 4λ + 1) = 0

(λ - 1)(2λ - 1) = 0

λ = 1, 1

λ = -2, 2

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2. Abbiamo una matrice A al variare di k ∈ R. Per quali k è

diagonalizzabile?kk ∈ R AB. Per quali è diagonalizzabilekortogonalmente?k = − 1 D AC. Posto determina, se possibile, una diagonalizzabile simile ad , la relativaP Hdiagonalizzante e la relativa diagonalizzante ortogonale . Pagina 65Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21A k ∈ R3. Si consideri , con .k k ∈ R AA. Per quali è diagonalizzabile?kk = 0Posto 3R A B′B. Si determini una base di formata da autovettori per e si scriva ottenutaBortonormalizzando .C. Si scriva una base ortonormale di autovettori. Se non è possibile, si giustifichi larisposta.Anche se ho scritto una base, non è ortonormale. Pagina 66Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21Giovedì 29 Ottobre 2020Tema esame 03/09/2020A. Si scriva un sistema lineare in 3 equazioni e 3 incognite non compatibile.3B V (R) (1,1,2) ∈ R (1,2,0)B. Determinare una base di tale che il vettore abbia componenti3rispetto ad essa.

v può essere qualsiasi vettore linearmente indipendente rispetto agli altri.

Tema esame 22/06/2020

R U = (x, y, z) x + y = 0

B. In si determini una base del complemento diretto di {U}

U = (-y, y, z) ∈ R, y, z ∈ R → <(-1, 1, 0), (0, 0, 1)>

{k (2, -3) AC. Si determini per quali il vettore è autovettore di A.

Av = λv È autovettore se Pagina 67

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Tema esame 20/04/2020

A. Si scriva un sistema lineare in 2 equazioni e 3 incognite, le cui soluzioni formano un

spazio vettoriale di 2 dimensioni.

Le soluzioni devono formare uno spazio vettoriale, il sistema deve essere omogeneo.

2dim 2 = ∞ soluzioni

ρ(A) = ρ(A B) = ρ = 1

2∞ → 2 = n - ρ = 3-?

5dim 3 R

B. Si determinino le possibili dimensioni dell'intersezione di due sottospazi di R^n.

U, W

Sottospazi:

dim U = dim W = 3

5dim R

dim U ∩ W = dim U + dim W - dim(U + W)

1. .dim U ∩ W = 3 + 3−??

2. Se ho tre vettori dipendenti 55 R

3. Se non ho tre vettori dipendenti, dovrebbero essere 6, ma il massimo è <= 3, perché siamo in .dim U ∩ W = 3 ∨ 1 ⇒ 1 ≤ dim U ∩ W ≤ 3

4. Geometria Analitica

5. A (K ) (R . A) [0,β ]

6. In uno spazio affine si dice riferimento affine ogni coppia dove:

7. n An(K ) A0 è un punto fissato, detta origine del riferimento

8. β = (e , . . . , e ) V (K ) base di1 n ny

9. Consideriamo la funzione 0a ≠ ∅ è un insieme di punti.

10. y è una biiezione.

11. Consideriamo: È un isomorfismo fra spazi vettoriali.

12. L’isomorfismo è un omomorfismo biiettivo.

13. Pagina 68

14. Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21

15. ϕ := ϕ ∘ ϕ

16. Sia B 0 ϕ è la funzione di coordinatizzazione. Biiezione(x , . . , x ) e sono le1 n P coordinate affini di in R . A .

17. R . A . A (K ) β = (e , . . . , e ) P (x , . . , x ) Q

18. Fissato un in con una base, se ha coordinate e han 1 n 1 n(y ,

. . . , y ) PQcoordinate , il vettore è dato da:1 n ⃗

Esercizio:A (R) P = (0,3) Q = (1, -2) BPQ1. . Determina rispetto a .2 c⃗ ⃗A (R) P = (1,0, -1) Q = (2,1,3) PQ QP2. . determina , e le loro componenti rispetto alla3B .c Pagina 69Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21Traslazioni in uno spazio affinev ∈ V (K ) τSia un vettore fissato. Sia la traslazionen vvassociata a . x' = τ (P) = Qcoordinate di vx = Pcoordinate diA = v βcomponenti di rispetto aEsercizio:A (R) P = (0,1) v = e - 2e2. scrivi l'equazione della retta per con direzione individuata da .2 1 2r : [(P, < v > )] P vè l'insieme dei traslati di tramite tutti i vettori di < >.v t · v t ∈ RIl generico di < > è , con . Q ∈ rIl generico punto èQ = (t,1 - 2t) . Pagina 70Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21A (R) P = (-1,2) v = - 3e + e3.

2 1 2P vTrova l'insieme di traslati di attraverso < >.⇒ r : [P, < v > ]cerco 4. Trova l'origine e lo spazio di traslazione dellaretta. = POrigineSpazio di= vtraslazione Pagina 71Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21r : 2x - y = 25. . Determina:
• La sua rappresentazione parametrica
• L'origine e lo spazio di traslazioneA (R)Rette in 2l, m ( p . d.)sono i parametri direttori , indicano la direzione della retta e sono i direttori dello[(l, m)] ≠ (0,0)spazio di traslazione. , uno può essere zero, ma non tutti e due nello stesso∞momento. I parametri direttori sono coppie proporzionali.a x + b y + c = 0 (a, b) ≠ 0Equazione cartesiana:[(l, m)] = [(−b, a)]r A(x , y ) B(x , y )Retta per due punti 0 0 1 1 Pagina 72Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21Mercoledì 4 Novembre 2020r //s e sono distinte. Pagina 73Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune

A-L A.A. 2020/21∃! soluzione. Pagina 74

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ACondizione di allineamento di tre punti in 2P (x , y ), P (x , y ), P (x , y )

Siano tre punti del piano affine. Sono allineati1 1 1 2 2 2 3 3 3⟺ r : a x + b y + c = 0 P , P , P

che li contiene, ovvero tale che con le loro coordinate1 2 3soddisfano l’equazione. a, b, cÈ un sistema omogeneo nelle incognite .(a, b, c) ≠ 0 ⟺ ∃ P , P , P

Ha autoassoluzione una retta che contiene .1 2 3⟺ P , P , P sono allineati! 2 3 Pagina 75

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P (x , y ), P (x , y ) P(x, y)

Si immagini di fissare due punti e di imporre a di essere allineato con1 1 1 2 2 2P ∧ P .1 2 I punti non sono allineati. Pagina 76

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A (R)Riepilogo rette in 2P (x , y ) P (x , y )

Dati e come si determina l’equazione della retta che passa per questi punti?0 0 0 1 1

1 Pagina 77Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21A (R)Fasci di rette in 2Si dice fascio di rette un insieme di rette che si ottiene combinando linearmente le equazioni didue rette. Equazione ridotta del fascio.Rappresenta tutte le rette trannequella di s.A (R)Rette in 3[(l, m, n] ≠ (0,0,0)]Sono i parametri direttori. Pagina 78Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21A (R)Attenzione: in la retta è vista come intersezione di due piani distinti!3 Mercoledì 11 Novembre 2020Regola dei MinoriA (R) pdSi usa in per trovare i di una retta data in forma cartesiana.3Ho Pagina 79Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L A.A. 2020/21data [(l, m, n)]dall'intersezione di due piani. Cerco .Q = (1, - 1, - 2) //3. Per e ar //s ⇒ pdr = pd s sCerco Hanno gli stessi parametri direttori. è data in forma cartesiana, perpd strovare i abbiamo due vie:s tScrivere in forma parametrica, introducendo

Il parametro t è utilizzato per la regola dei minori. L'equazione parametrica viene ottenuta "eliminando" il parametro e ricavando l'equazione cartesiana, che è t = x - 1. L'equazione della retta parametrica è riportata a pagina 80 del libro di Martina Contestabile, Ingegneria Informatica, Comune A-L, A.A. 2020/21.

Per stabilire la posizione delle rette r e s in uno spazio tridimensionale:

1. Possono essere complanari. In questo caso, possono essere incidenti o parallele (distinte o coincidenti).
2. Possono essere sghembe, ovvero non esiste un piano che le contenga.
3. Entrambe le rette possono appartenere all'insieme A (R).

La posizione delle rette è determinata dal numero di soluzioni del sistema di quattro equazioni delle rette. Se il determinante della matrice (A B) è diverso da zero, allora le rette sono sghembe. Se il determinante è uguale a zero, le rette sono complanari. Se il rango della matrice (A B) è uguale a 3, allora le rette sono incidenti. Se il rango è uguale a 2, le rette sono parallele e non si intersecano. Se il rango è uguale a 1, le rette sono coincidenti e si sovrappongono.

La soluzione del sistema di equazioni determina la posizione delle rette. Se il rango del sistema è 3, il numero di soluzioni è diverso da 2, quindi le rette sono incidenti. Se il rango è 3 e il numero di soluzioni è 2, le rette sono parallele e non si intersecano. Se il rango del sistema è 2, il numero di soluzioni è infinito e le rette sono coincidenti. Se il rango del sistema è 1, il numero di soluzioni è infinito e le rette sono sovrapposte.

Queste sono le informazioni riguardanti la posizione delle rette r e s.

n′)] ⇒ r //sOsservazione: Se ho iA (R) r sEsercizi: trova in la posizione di e .3Non sono parallele fra loro. Bisogna capire se sono sghembe o incidenti. Per non avere unsistema a sei equazioni, eguaglio le x con le x e così via. Pagina 81

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Discutiamo il rango della matrice completa. Pagina 82

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