Fondamenti di Geotecnica - Esercizi

H H

( ) ( )

ε

= − ⋅ + = − ⋅ + = −

e e 1 e e 1 e 0 . 648 1 . 648

o z o o o

H H

o o

ε

∆

= z

m

v σ

∆ ' z

Le grandezze ricercate sono quindi:

Provino A ∆H

H m

σ ε

2 v

Tensione verticale (kN/m ) e 2

z z

(mm) (mm) (m /kN)

0 20.000 0 0 0.648

25 19.806 0.194 0.0097 0.632 3.88e-4

50 19.733 0.267 0.0134 0.626 1.46e-4

100 19.600 0.400 0.0200 0.615 1.33e-4

200 19.357 0.643 0.0322 0.595 1.22e-4

400 18.835 1.165 0.0583 0.552 1.31e-4

800 18.167 1.833 0.0916 0.497 8.35e-5

La fig. E7.1.2 riporta la curva edometrica nel piano naturale e in quello semilogaritmico; in quest’ultimo,

la costruzione di Casagrande permette di valutare la tensione di preconsolidazione (si consiglia al lettore di

σ′

tracciare la curva edometrica, a partire dai dati sopra ottenuti e di valutare autonomamente ):

p

σ ≅ 2

' 185 kN / m

p

Il rapporto di preconsolidazione si valuta calcolando la tensione geostatica alla quota di prelievo del

provino A. 2

tensione efficace verticale (kN/m )

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

0,00

verticale 0,02

0,04

deformazione 0,06

0,08

0,10 2

tensione efficace verticale (kN/m )

10 100 1000

0,00

verticale 0,02

0,04

deformazione 0,06

0,08

0,10

Fig. E7.1.2 185

( )

σ γ

= = − ⋅ = = =

2 ⇒

' ' z 21 10 3 33 kN / m OCR 5 . 6

vA A 33 2

Il rapporto di ricompressione viene valutato nell’intervallo tensionale (50-100 kN/m ); il rapporto di

2

compressione nell’intervallo (200-400 kN/m ).

ε

∆ −

0

. 020 0 . 0134

= = =

z

RR 0 . 022

( )

σ

∆ −

log ' log 100 log 50

z

ε

∆ −

0 . 0583 0 . 0322

= = =

z

CR 0 .

087

( )

σ

∆ −

log ' log 400 log 200

z

2. Per il calcolo del cedimento di consolidazione, con il metodo edometrico di Terzaghi, si segue la

procedura delineata al par. 7.5.4.

Innanzi tutto si suddivide il deposito argilloso in strati, all’interno dei quali i provini A,B,C sono

considerati rappresentativi. La fig. E7.1.1 mostra la scelta operata (strati da 6, 7, 5 m).

σ′

I dati dell’esempio forniscono già i valori di , RR e CR per i provini B e C che, insieme a quelli

p

valutati per il provino A, sono necessari per il calcolo delle deformazioni verticali dei singoli strati.

Gli incrementi tensionali indotti sono dovuti al carico dell’argine in terra: si valutano utilizzando le

soluzioni che si ottengono dall’ipotesi di area di carico su semispazio elastico (par. 5.5.2). Nella trattazione

al par. 5.5.2 questi approcci sono stati solo introdotti, rimandando a testi che trattano il problema nella sua

specificità. In sintesi, si dispone di abachi e tabelle che, in base alla geometria del problema, forniscono

coefficienti per il calcolo delle tensioni indotte e, in alcuni casi, dei cedimenti.

Nel seguito si illustra un esempio di utilizzo di un abaco che permette di valutare l’incremento di tensione

verticale nel sottosuolo, al di sotto di un’area di carico avente la forma dell’argine in esame .

Si consideri quanto indicato in fig. E7.1.3. Lo scopo è valutare il coefficiente di influenza I che

σ

∆σ

rappresenta il rapporto tra la tensione indotta e la pressione p dovuta al sovraccarico sul piano

z

campagna. Il calcolo si conduce per ogni profondità di interesse; nel caso in esame sotto l’asse dell’argine ed

alle profondità dei provini A,B,C. Con le dimensioni in figura (a=8 m; b=8 m) si ha:

z (m) a/z b/z I =∆σ /p

σ z

A 3 2.67 2.67 0.49

B 10 0.80 0.80 0.43

C 15 0.53 0.53 0.36

Poiché il calcolo è stato condotto in riferimento a metà sovraccarico e poiché l’analisi è basata sul

presupposto di un comportamento elastico, è possibile applicare la sovrapposizione degli effetti. In questo

caso, per ragioni di simmetria, in quanto si riferiscono i calcoli alla mezzeria dell’argine, gli incrementi di

tensione indotti alla profondità z sono valutabili come:

σ

∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ = 2

2 I q essendo q 7 20 140 kN / m

σ

z

Fig. E7.1.3

Risulta quindi: σ′ σ′ ∆σ ∆σ σ′

OCR /q =∆σ′ +∆σ′

v P z z z v z

z (m) 2 2 2 2

(kN/m (kN/m (kN/m (kN/m

) ) ) )

A 3 33 185 5.5 0.98 137.2 170.2

B 10 110 265 2.4 0.86 120.4 230.4

C 15 165 170 1.0 0.72 100.8 265.8

σ′

Il terreno è inizialmente OC; negli strati caratterizzati dai provini A e B si ha che +∆σ′ <σ′ : le

v z P

deformazioni (e quindi i cedimenti) saranno dovuti al solo tratto di ricompressione: il calcolo avverrà quindi

mediante la formula (7.25). Al cedimento dello strato del provino C contribuiscono sia il tratto di

ricompressione, sia quello di compressione (σ′ +∆σ′ >σ′ ): la formula da utilizzare è quindi la (7.24).

v z P

In conclusione, i cedimenti «s» dei tre strati valgono:

σ′ σ′ σ′ +∆σ′ s

v P v z

Hi (m) RR CR 2 2 2

(kN/m ) (kN/m ) (kN/m ) (m)

A 6 0.022 0.087 33 185 170.2 0.094

B 7 0.010 0.108 110 265 230.4 0.022

C 5 0.021 0.118 165 170 265.8 0.116

E quindi il cedimento del deposito di argilla è pari a:

∑

= = + + =

s s 0.094 0.022 0.116 0.232 m

∞ i

i

Esempio 7.2 ≅75%.

Cinque provini allo stato secco di una sabbia silicea sono ricostituiti alla densità relativa D

R

Si determini il valore dell’angolo di resistenza al taglio di picco a partire da prove di taglio diretto.

Le prove hanno fornito i seguenti risultati: Tensione normale a

Tensione normale iniziale Tensione tangenziale a rottura

rottura

σ σ τ

2 2 2

Provino (kN/m ) (kN/m ) (kN/m )

n nf f

1 10 10.1 15.9

2 25 25.4 34.0

3 50 51.2 57.0

4 100 102.5 104.3

5 180 188.4 176.7

La tensione normale a rottura è corretta, rispetto a quella iniziale, per tenere conto della variazione di area

dei provini a causa dello spostamento orizzontale.

La fig. E7.2.1 riporta i punti a rottura e la retta che li interpola. Dall’equazione di quest’ultima risulta:

≅10 2

- c’ kN/m

φ′ ≅

- 42°

200

175

150

) 125

2

(kN/m 100

75

τ 50

25

0 0 25 50 75 100 125 150 175 200

σ 2

(kN/m )

Fig. E7.2.1 Inviluppo di rottura come retta interpolatrice dei dati sperimentali

200

175

150

) 125

2

(kN/m 100

75

τ 50

25

0 0 25 50 75 100 125 150 175 200

σ 2

(kN/m )

Fig. E7.2.2 Inviluppo di rottura curvilineo

Non è realistico che per la sabbia allo stato secco si ottenga un valore di coesione efficace diverso da zero.

Tale risultato è motivato dalla leggera curvatura dell’inviluppo di rottura, evidente soprattutto per le più

basse tensioni applicate, mostrato in figura E7.2.2. (si veda il par. 5.3.3.1).

σ φ′ ≅

2

Per <25 kN/m si può stimare un valore medio di 47°

n

Esempio 7.3 γ 3

Un deposito di argilla (falda a p.c. e =19 kN/m ) è caratterizzato dalle seguenti prove di laboratorio:

prove triassiali tipo CID eseguite su tre provini indisturbati saturi;

-

- prove triassiali tipo CK U eseguite su tre provini indisturbati saturi;

o

- prove triassiali tipo UU eseguite su tre provini indisturbati saturi.

Tutte le prove sono di compressione per carico. Considerando i dati riportati nelle tabelle valutare:

i parametri di resistenza al taglio in termini di tensioni efficaci;

1. ∆u

2. i valori della sovrappressione interstiziale a rottura nei tre provini sottoposti alle prove CKoU;

3. i valori di resistenza non drenata s nello strato di argilla, al variare della profondità;

u

la profondità alla quale sono stati prelevati i provini delle prove UU.

4. Prova CID Tensione assiale Tensione radiale a rottura Back-pressure

a rottura

σ σ

Provino u

af rf o

2 2 2

(kN/m ) (kN/m ) (kN/m )

1 215 130 100

2 485 210 100

3 670 270 100

Prova CKoU Tensione assiale Tensione radiale fine Tensione assiale

Back-pressure

fine consolidazione consolidazione a rottura

σ σ σ

Provino u

a r o af

2 2 2 2

(kN/m (kN/m (kN/m (kN/m

) ) ) )

1 325 232 150 398

2 475 302 150 603

3 600 361 150 775

Prova UU Tensione in cella Tensione assiale a rottura

iniziale

σ σ

Provino c af

2 2

(kN/m ) (kN/m )

1 50 139

2 150 242

3 250 340

Questo esempio presuppone di fare largo uso dei percorsi tensionali, in quanto rappresentazione più

agevole per interpretare le prove triassiali. Si considerano quindi stress-path nei piani (s,t) e (s′, t). Si svolge

l’esempio riportando, in forma tabellare, i risultati, ma non tracciando i percorsi tensionali. Si consiglia al

lettore di svolgere autonomamente i calcoli, verificarli e tracciare i percorsi tensionali.

1. L’inviluppo di rottura in termini di tensioni efficaci può essere ottenuto dall’interpretazione della

prova CID: essendo la prova drenata nella fase di rottura, i valori delle tensioni totali ed efficaci differiscono

solo per il valore della back-pressure, mantenuta costante nel corso della prova. La tensione radiale rimane

costante ed è pari, essendo la consolidazione isotropa, alla tensione assiale in fase di consolidazione.

A rottura si ha: 2

CID N.B.: tutte le tensioni sono in (kN/m )

σ σ σ′ σ′ ′

Provino u s s t

af rf o 1 3

1 215 130 100 115 30 172.5 72.5 42.5

2 485 210 100 385 110 347.5 247.5 137.5

3 670 270 100 570 170 470 370 200

Tracciando l’inviluppo di rottura si ottiene:

α α

= + ≅ ≅ °

2

t a ' s 'tan ' ; a ' 4.7 kN / m ; ' 28

da cui:

φ α φ

= ≅ ° = ≅ 2

a '

sin ' tan ' ; ' 32 ; c ' 5.5 kN / m

φ

cos '

2. L’inviluppo di rottura in termini di tensioni efficaci ottenuto dall’interpretazione della prova CID

viene utilizzato per valutare le sovrappressioni interstiziali generatesi nella prova CK U.

o

Si fa l’ipotesi che i provini siano stati prelevati dallo stesso campione indisturbato e che la prova

consolidata non drenata, interpretata in term