Fisica, la relatività dello spazio e del tempo, problemi svolti

√L

− ± − 4(c ⋅ Δt)

= 2Δ

8 −9

(3

c ⋅ Δt = ⋅ 10 m/s)(1 ⋅ 10 s) = 0,30 m

> 0:

escludiamo la soluzione negativa, essendo

3 3 2 2

√(1,2

−(1,2 ⋅ 10 ) + ⋅ 10 m) + 4 ⋅ 0,09m

= −9

2(10 s)

La velocità dell’astronave è: −4

1,5 ⋅ 10

4

= = 7,5 ⋅ 10

−9

2(10 s)

35

Si vuole dilatare un intervallo temporale del 15 %

• Determina qual è la velocità necessaria per ottenere questo effetto. [, ]

Svolgimento

Δ è il tempo proprio: 15

→1 + = 1,15

Dilatazione del 15% 100 ′

Δ = Δ = 1,15Δ

= 1,15

1

1,15 = 2

− β

√1

con

= → =

Determiniamo il valore di :

1

2

√1 − β = 1,15 2

1

2

1 − β = ( )

1,15 2 2

1 1

√

2

β =1−( ) → = 1−( ) = 0,494

1,15 1,15

= 0,49

38 = 0,22

Un osservatore A vede in movimento a velocità costante un secondo osservatore B. Per

l’osservatore A, l’orologio di B segna che sono trascorsi 46 s.

• Quanto tempo è trascorso secondo l’orologio di A? [ ]

Svolgimento

L’osservatore B è in S’ che si muove a velocità costante. L’osservatore A è in S.

, sia l’orologio di A che quello di B segnano

= 0

Quando B è in posizione 1 Δ = 46

Tempo proprio, quello di B: 1

′

Δ = Δ = Δt

Tempo dilatato 2

√1−β 1 1 1

γ= = =

2 2

2 √1

(v − 0,22

(0,22c

√1 √1

− ) − )

c c

1

′

Δ = ⋅ 46s = 47,1553 ….

2

√1 − 0,22

′

Δ = 47

44

Un’asta di lunghezza a riposo si muove a velocità relativistica v

0

costante e forma un angolo di 45° con la direzione del moto, quando

osservata nel sistema di riferimento S, come mostrato in figura. Un

osservatore, fermo in S, misura la lunghezza dell’asta.

Ottiene ?

0

Svolgimento

Nella direzione del moto la componente si contrae, metre resta costante.

La lunghezza dell’asta, quindi, risulta minore di .

0

53

Durante una missione spaziale, dall’oblò di una navicella in movimento si vede passare un asteroide, di

5

= 3,0 ⋅ 10 /.

lunghezza a riposo pari a 50 m, con velocità relativa alla navicella

• Quanto è lungo l’asteroide nel sistema di riferimento della navicella?

• Quanto risulterebbe lungo l’asteroide se la velocità della navicella fosse 0,999 c? [50 m; 2,2 m]

Svolgimento

Nel riferimento della navicella è:

0

= 0

= 1 2

−

√1

5

3 ⋅ 10

−3

= = = 10

8

3 ⋅ 10

La velocità della navicella è solo 1/1000 di quella della luce, la lunghezza è invariata.

2

√1

= − ( )

0 −3 2

(10 )

√1

= − = 50

0

Nel caso in cui v è prossima a c risulterebbe contratta:

0,999

= = = 0,999

2

(0,999)

√1

= − = 2,2355088 …

0

≅ 2,2

55

Aumentando del 20% la velocità di una sbarra già in moto, la sua lunghezza si riduce del 30%.

• Calcola la velocità iniziale della sbarra. [0,73 c]

Svolgimento lunghezze prima e dopo l’aumento della

’

Sia la lunghezza a riposo della sbarra. Indichiamo con ed

0

velocità. La lunghezza contratta è:

0 0

= =

2

−

√1

con:

=

è la velocità iniziale della sbarra da determinare.

→ = 1,2

La velocità viene aumentata del 20% 1

→ (1)′ = 0,7

La lunghezza si riduce del 30 % 0

(2)′

=

Indichiamo con il nuovo fattore, abbiamo:

1

1

in cui: 1 1,2

1

= = =

1 1

2

( )

−

√1 1 1

=

1 2

√1 − (1,2 )

dalla (1) e dalla (2): 1 1

0 0

′ = 0,7 ⇔ = 0,7 ⇔ = 0,7

1 1

⇓

2 2

√1 0,7√1

− (1,2 ) = − ( )

2 2

(1,2 )

√1 − = 0,7√1 −

2 2

(1,2 ) )

1 − = 0,49(1 −

2 2

Risolviamo l’equazione di secondo grado: 1 − 1,44 = 0,49 − 0,49

0,51

2 √

0,95 = 0,51 → = = 0,7326 … = 0,73

0,95 = ⋅ = 0,73

56

La stella più vicina alla Terra, Proxima Centauri, si trova a 4,2 anni-luce. Un astronauta parte dalla stella per

raggiungere la Terra a bordo di un’astronave con velocità c/2.

• Quanto tempo impiega un raggio di luce proveniente da Proxima Centauri a raggiungere la Terra?

• Quale è la distanza fra la stella e la Terra nel SRI dell’astronave?

• Quanto tempo impiega l’astronauta a raggiungere la Terra secondo l’orologio della sua astronave?

[4,2 a; 3,6 a.l.; 7,3 al]

Svolgimento

a) Il raggio di luce impiega 4,2 anni a raggiungere la Terra.

b) La distanza tra la Terra e Proxima Centauri appare contratta:

Δ

′

Δ =

′ 2

(4,2 ) √1

Δ = a. l. ⋅ −

con

1

2

= = =

2

√3

′ (4,2 )

Δ = a. l. ⋅ = 2,1 ⋅ . = 3,6 . .

√3.

2

c) Il tempo necessario è: Δ′ 2,1 ⋅ √3

Δ = = = 7,3

2

59 2

All’interno di un acceleratore di particelle = 400

è applicata una piastra di forma quadrata e area .

= 0,80

Un elettrone passa accanto alla lastra con velocità in direzione parallela a uno dei lati della

piastra.

• Calcola l’area della piastra nel sistema di riferimento dell’elettrone.

• dell’elettrone, la piastra

Come calcolato sopra, nel sistema di riferimento risulta rettangolare.

Determina la misura degli angoli acuti che la diagonale del rettangolo forma con i lati

[, ⋅ ; °; °]

Svolgimento

Nota l’area della piastra ricaviamo la misura del lato nel riferimento del laboratorio (S)

2

√400

= = = 20,0

√

0

Nel riferimento dell’elettrone (S’), il lato parallelo alla direzione del moto è contratto per cui la piastra

assume una forma rettangolare: Δ 0

′

Δ = →=

2

√1

= −

0

con:

= = 0,80

2

= 20,0 √1 − 0,8 = 12,0

L’area della piastra nel riferimento dell’elettrone misura: 2 2 2

(20,0 )

= ⋅ = ⋅ 12,0 = 2,4 ⋅ 10

0

Nel triangolo ABC, da semplici considerazioni trigonometriche abbiamo:

20

0

= → = arctan → = arctan = 59°

2

12

√1−

0 :

Essendo il triangolo rettangolo, è complementare di

= 90° − 59° = 31°

60

All’interno di un acceleratore di particelle è applicata una piastra a forma di triangolo equilatero, di lato

Un fascio di elettroni percorre l’acceleratore

= 3,2 . = 0,95 .

a velocità Uno dei tre lati del

0

triangolo, considerato come base, è parallelo alla velocità del fascio.

• Calcola il perimetro della piastra. [, ]

Svolgimento

La misura CH, con direzione perpendicolare a quella della velocità resta invariata. I lati del triangolo

risultano contratti, ma in maniera differente:

√3

′ ′

= = ⋅ sin 60° = = 2,77

0 0 2

La base AB, parallela alla velocità del fascio è contratta:

0

′ ′ 2

√1

= = −

0

= = 0,95

con

′ ′ 2

= 3,2 √1 − 0,95 = 0,999

′ ′ 2

= 3,2 √1 − 0,95 = 0,999

′

è funzione dell’angolo :

Il lato obliquo L

2,77

′ ′

= → ′ = arctan → = 79,778°

′′ 0,4995

′

′

′ ′

= = = 2,81

cos ′

Il perimetro della piastra è:

= 2 + ′′ = 2(2,81) + 0,999 = 6,619

≅ 6,6

61 L’angolo tra la base

= 5,0 = 3,0 .

Un parallelogramma ha la base lunga e il lato obliquo lungo

e il lato obliquo misura 75°.

• Calcola la velocità, rispetto alla base del parallelogramma, in un sistema di riferimento in cui la

base e il lato obliquo del parallelogramma hanno la stessa lunghezza. [0,81 c]

Svolgimento

Nel sistema in moto si chiede che le lunghezze della base e del lato obliquo siano le stesse. Indichiamo con l

questa misura.

L’altezza resta invariata.

S’:

Nei riferimenti S e ′

ℎ = ⋅ sin 75° = ⋅ sin

da cui: ′

(∗) ⋅ sin 75° = ⋅ sin

La base b, subisce contrazione:

′

(1) =

Per il lato obliquo: ′

Δ

′ = cos

ma per la contrazione della base è anche: Δ

′

Δ =

per cui è anche: Δ 1

(2) ′ = ⋅

cos

imponendo che le due dimensioni siano le stesse: ′