Fisica, la relatività dello spazio e del tempo, problemi svolti

Aprile 2022

Fisica

La relatività del tempo e dello spazio

Problemi svolti

• Invarianza della velocità della luce

• La simultaneità

• La dilatazione dei tempi

• La contrazione delle lunghezze

• Le trasformazioni di Lorentz

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Un astronave lunga 1,2 km emette, in coda e in testa due segnali luminosi simultanei secondo un osservatore

dell’astronave separati da 1,0 ns.

a terra. Secondo lo stesso osservatore, i segnali raggiungono il centro

• Calcola la velocità dell’astronave.

⋅

[, ]

Svolgimento

Fissiamo un riferimento come in figura. La coda dell’astronave è nell’origine e la testa a distanza L=1,2 km.

(

Scriviamo le equazioni del moto dell’astronave ) e dei due raggi di luce:

: =

1 1

: = −

2 2

= +

2

Secondo un osservatore a terra i segnali luminosi sono simultanei per cui possiamo scrivere:

(1) (2)

= =

1 2

Indichiamo con e i tempi di arrivo dei due segnali:

1 2

, raggiunge il centro nell’istante

Il segnale luminoso :

1 1

(1) (

= + → − ) = → =

1 1 1 1

2 2 2( − )

, raggiunge il centro nell’istante

Il segnale luminoso 2 2

(2) (

− = + → + ) = − → =

2 2 2 2

2 2 2( + )

L’intervallo temporale che separa i due eventi è:

Δ = − = −

1 2 2( − ) 2( + )

+ − + 2

Δ = = ⋅

2 2 2 2

( )

2 − 2 −

Δ = 2 2

−

Da questa equazione ricaviamo la velocità v:

2 2 )

Δ( − =

2 2

v ⋅ Δ + − Δ ⋅ = 0

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

2 2

√L

− ± − 4(c ⋅ Δt)

= 2Δ

8 −9

(3

c ⋅ Δt = ⋅ 10 m/s)(1 ⋅ 10 s) = 0,30 m

> 0:

escludiamo la soluzione negativa, essendo

3 3 2 2

√(1,2

−(1,2 ⋅ 10 ) + ⋅ 10 m) + 4 ⋅ 0,09m

= −9

2(10 s)

La velocità dell’astronave è: −4

1,5 ⋅ 10

4

= = 7,5 ⋅ 10

−9

2(10 s)

35

Si vuole dilatare un intervallo temporale del 15 %

• Determina qual è la velocità necessaria per ottenere questo effetto. [, ]

Svolgimento

Δ è il tempo proprio: 15

→1 + = 1,15

Dilatazione del 15% 100 ′

Δ = Δ = 1,15Δ

= 1,15

1

1,15 = 2

− β

√1

con

= → =

Determiniamo il valore di :

1

2

√1 − β = 1,15 2

1

2

1 − β = ( )

1,15 2 2

1 1

√

2

β =1−( ) → = 1−( ) = 0,494

1,15 1,15

= 0,49

38 = 0,22

Un osservatore A vede in movimento a velocità costante un secondo osservatore B. Per

l’osservatore A, l’orologio di B segna che sono trascorsi 46 s.

• Quanto tempo è trascorso secondo l’orologio di A? [ ]

Svolgimento

L’osservatore B è in S’ che si muove a velocità costante. L’osservatore A è in S.

, sia l’orologio di A che quello di B segnano

= 0

Quando B è in posizione 1 Δ = 46

Tempo proprio, quello di B: 1

′

Δ = Δ = Δt

Tempo dilatato 2

√1−β 1 1 1

γ= = =

2 2

2 √1

(v − 0,22

(0,22c

√1 √1

− ) − )

c c

1

′

Δ = ⋅ 46s = 47,1553 ….

2

√1 − 0,22

′

Δ = 47

44

Un’asta di lunghezza a riposo si muove a velocità relativistica v

0

costante e forma un angolo di 45° con la direzione del moto, quando

osservata nel sistema di riferimento S, come mostrato in figura. Un

osservatore, fermo in S, misura la lunghezza dell’asta.

Ottiene ?

0

Svolgimento

Nella direzione del moto la componente si contrae, metre resta costante.

La lunghezza dell’asta, quindi, risulta minore di .

0

53

Durante una missione spaziale, dall’oblò di una navicella in movimento si vede passare un asteroide, di

5

= 3,0 ⋅ 10 /.

lunghezza a riposo pari a 50 m, con velocità relativa alla navicella

• Quanto è lungo l’asteroide nel sistema di riferimento della navicella?

• Quanto risulterebbe lungo l’asteroide se la velocità della navicella fosse 0,999 c? [50 m; 2,2 m]

Svolgimento

Nel riferimento della navicella