Fisica generale - Esercizi Svolti

M M

24 22

   

5,98 10 7,36 10

; massa della Luna, ; distanza Terra-Luna,

kg kg

T L

d 5

 

3,84 10 G 

11

 

6,67 10 3 -1 -2

; costante di gravitazione universale ).

km m kg s

Risposta:

M M

U G 28

    

7,64 10

T L J .

d 1/2

5. Determinare la variazione di energia potenziale gravitazionale di uno sciatore di massa

m 75 

L

   

100 30

che percorra L scendendo lungo un pendio inclinato di rispetto

kg m 1

all’orizzontale.

Risposta: 

U U U mgL

     

sin 4

– 3,7 · 10 J.

f i 1

m 450



6. Un blocco di massa è appoggiato all’estremità di una molla di costante elastica

g

k 150

 disposta verticalmente sul piano di un tavolo. La molla è compressa di

N/m

y

 20

 rispetto alla posizione di equilibrio. Se la molla viene rilasciata, determinare la

cm y , raggiunta dal blocco.

massima quota,

Risposta:

Ponendo lo zero per l’energia potenziale gravitazionale nella posizione iniziale:

E k y 2

   / 2

prima che la molla venga rilasciata l’energia meccanica del sistema è: ;

E mgy



 alla massima quota del blocco: ;

mgy k y 2

   / 2

quindi: ;

y k y mg

2

   / 2

e, infine: = 0,68 m.

In modo meno semplice, si può ragionare nel modo seguente:

mv k y mg y

2 2

   

 / 2 / 2

quando il blocco si stacca dalla molla si ha: ;

0

y y mg y y mv 2

    

 ( ) / 2

poi il blocco prosegue per un tratto tale che ;

0

mg y y k y mg y

2

      

( ) / 2

quindi , come sopra.

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FISICA GENERALE

Esercitazione n. 7

m  l

30  40

1. Una pallina di massa è sospesa ad un filo di lunghezza ed inizialmente si

g cm

trova nella posizione di equilibrio stabile.

v

Quale velocità bisogna imprimere alla pallina affinché compia un giro completo in un piano

0

verticale?

Risposta: T mg mv l v gl

2 2

  

/

Nel punto più alto quindi, per non cadere, ;

a a

imponendo la conservazione dell’energia meccanica:

mv mg l mv mgl mgl

2 2

   

(1 / 2) (2 ) (1 / 2) 2 (1 / 2) ;

a

0

v gl

 5 -1

quindi: = 4,4 ms indipendente dal valore di m.

0

M  80 l  9,5

2. Tarzan ( ) per superare un fiume si appende ad una liana di lunghezza e si

kg m

  

60

lascia andare partendo da fermo da una posizione spostata di rispetto alla verticale.

a

v

(a) Determinare: la velocità, , l’accelerazione centripeta, , e l’accelerazione tangenziale ,

C

0

a , di Tarzan, sempre quando passa per la verticale;

t 3

 

1,2 10

T

(b) se la liana si rompe per una tensione (carico di rottura) , riuscirà Tarzan a

N

0

superare il fiume o cadrà in acqua? Giustificare la risposta.

Risposta: 

mv mgl

2  

(1 / 2) (1 cos )

(a) Per la conservazione dell’energia meccanica quindi

0



v gl a

a v l

  

2



2 (1 cos ) 0

/

-1 -2

= 9,7 ms ; = 9,8 ms ; .

t

r

0 0

(b) La liana si spezza, perché quando Tarzan passa per la verticale:

 

T mg mv l mg mg T

2

         

 

/ 1 2(1 cos ) (3 2cos ) 1,6 0 3

1 N

  .

0 0

m L

 

75 100

3. Uno sciatore A di massa percorre scendendo lungo un pendio inclinato

kg m

A 1

  

30

di rispetto all’orizzontale. v

(a) Se questo sciatore parte da fermo e determinare la velocità finale, , dello sciatore.

fA v

(b) Se successivamente questo sciatore affronta un tratto pianeggiante con la velocità fA

L percorrerà prima di fermarsi,

determinata per la domanda precedente, quale distanza 2

nell’ipotesi che rinunci a spingersi?

(c) Se, invece, lo sciatore A, all’inizio del tratto pianeggiante esegue un urto “totalmente

v

m  60

anelastico” con un altro sciatore B di massa , con quale velocità affrontano,

kg fAB

B

insieme, il tratto pianeggiante?   0,10

Il coefficiente di attrito tra neve e sci è , sia sul pendio inclinato sia sul tratto

d

pianeggiante.

Risposta:   

W U K mg L mgL mv

    2

   

cos sin (1 / 2)

(a) quindi

attrito d fA

1 1

  

v gL g

  

2 (sin cos ) -1

e infine: .

28 ms

fA d

1 

W K mgL mv

  2

  

0 (1 / 2)

(b) quindi e infine

attrito d fA

2

  

g L 

2 (sin cos )

v 2 d

L 1 2

   

fA 4,1 10 .

m

2  g 

2 g

2

d d m

v v

m v m m v

   

A

( ) 16

(c) quindi .

m/s

fA fAB fAB fA

A A B m m



A B

1/2 h

m  100

 950

4. Un satellite di massa è in orbita intorno alla terra ad un’altezza .

km

kg 1

E

Quanta energia, , deve essere fornita al satellite per portarlo su un’orbita corrispondente ad

h  300

una altezza ?

km

2 R km

3

 

6,37 10

Per il raggio terrestre si utilizzi il valore .

Risposta: GM gR g ms 

2 2

m g G m M R  

2 9,81

 /

Se si ricorda che quindi dove e

R km

3

 

6,37 10 , si ottiene:

   

1 1 1 1

E U U GmM gR m

2 9

         

1,76 10

    .

J

2 1 R h R h R h R h

   

   

2 1 2 1

G m kg s M kg

  

11 3 1 2 24

   

6,67 10 5,98 10

Lo stesso risultato si ottiene sapendo che: e

Si può anche eseguire la seguente approssimazione:

h h h h h h h h

  

1 1 1

        

(1 )(1 )

2 1 2 1 2 1 1 2

R h R h R h R h h R h R R R

R R

2 2

     

( )( ) (1 / )(1 / )

2 1 1 2 1 2 e

h h h h

 

 

 

1

2 1 1 2

 

R

R 2     h h h h

 

 

1 1 m

E U U GmM g R 2

      

1

2 1 1 2

 

quindi:  

2 1 R

R h R h

  R 2  

 

2 1

5. Una cornice quadrata è composta da quattro asticelle omogenee di lunghezza L. Tre asticelle

hanno massa M, mentre la quarta ha massa 3M.

Determinare la posizione del centro di massa della cornice, rispetto a un sistema di riferimento

(x,y) per cui:

 le tre asticelle di massa M abbiano i centri nei punti:



(0, L/2) e (0, + L/2), le due asticelle parallele all’asse x;

o ( L/2,0), l’asticella parallela all’asse y;

o

 e quella di massa 3M, parallela all’asse y, abbia il centro nel punto (L/2,0).

Risposta:

Si noti che i singoli centri di massa delle quattro asticelle coincidono con i loro centri

geometrici.  

 M L M L

 

( / ) 3 / L

2 2

x  

 CM

 6

M

6



Quindi il centro di massa è in: M L M L

 

( / ) ( / )

 2 2

y   0

 CM M

6

M  3,5

 30 v

6. Un ragazzino di massa , correndo alla velocità , salta su uno skateboard

m/s

kg 0

m  3,0

di massa inizialmente fermo.

kg v , del sistema (ragazzino + skateboard), trascurando ogni tipo di

Determinare la velocità, f

attrito.

Risposta: Mv M m v

 

( )

La quantità di moto si conserva, pertanto ;

0 1

M

v v

   

(30 3,5 / 33) 3,2

-1 -1

quindi .

m s m s

1 0

M m



Per i testi e le soluzioni di questa e delle precedenti esercitazioni,

nonché dei problemi d’esame di alcuni appelli recenti, vedere:

http://www.fisica.unige.it/atmosfera/didattica/Fisica-Generale

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Corso di Studi in Ingegneria Civile e Ambientale

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FISICA GENERALE

Esercitazione n. 8

v

m 

 40

60 m/s

g

1. Una palla da tennis ( ) in moto alla velocità viene ribattuta in direzione

0

v  30 m/s

opposta con velocità .

1

I , agente sulla palla?

a) Qual è l’impulso, r r r r

v v v v v v v v

  

? =

Si verifichino i casi limite: ; ; ; .

1 0 1 0 1 0 1 0

t

  2,5 , determinare la forza impulsiva

b) Se la palla resta a contatto della racchetta per ms

media agente nell’urto.

Risposta: r r

i v

Si sceglie il versore concorde con il vettore , quindi con verso uscente dalla superficie

1

della racchetta che agisce sulla palla. r r

r r r r

I p m v v m v v i i

      

( ) ( ) (4,2 )

-1

kg m s

a) ;

1 0 1 0

nei casi limite: r r

I mv

v v 

? ;

1 0 1

r r

v v I

  0 ;

1 0 r r r

r r I mv mv

v v   

  2 2 ;

1 0 0 1

r r

I mv

v v  

= ;

1 0 0 F I t N

I F t 

3 3

     

  / (4,2 )/(2,5 10 ) 1,7 10

-1

kg m s s

b) quindi .

r

r

v i

m 

1

 )

0,30  (1,50

kg

2. Un corpo di massa in moto con velocità , urta centralmente ed

ms

1 1

m  0,20 kg , inizialmente fermo.

elasticamente un corpo di massa 2

r r

v v

e , dei due corpi dopo l’urto.

Determinare le velocità, 1f f

2

Risposta: r r

r r

v v i v v i

 

Si può porre e quindi:

f f f f

1 1 2 2

1 1 1

m v m v m v m v m v m v

2 2 2

   

e

f f f f

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

2 2 2

v v v

 

da cui si può dedurre e, infine:

f f

2 1 1

m m



v v v v v

    

0,30 1,80

1 2 -1 -1

ms ms

e .

f f

f 2 1 1

1 1

m m



1 2 1/2

3. Due pattinatori di massa m = 75 kg e m = 55 kg su una pista di ghiaccio afferrano le due

1 2

estremità di un’asta lunga l = 8,0 m di massa trascu