Fisica 3 - Fibre Ottiche

Anno accademico 2002/2003 Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Corso di Fisica III

Riflessione totale

La riflessione totale è il meccanismo che sta alla base della propagazione della luce all’interno delle

fibre ottiche (dette anche guide d’onda circolari), la trattazione completa di tale argomento

richiederebbe lo studio e la delle equazioni di Maxwell con le condizioni al contorno sulla

continuità delle componenti normali del campo elettrico e magnetico sulla discontinuità core-

cladding.

E’ anche possibile affrontare il discorso in maniera meno esaustiva, ma allo stesso tempo semplice e

comprensibile usando la teoria dei raggi come di seguito esposta.

In figura 2 è possibile osservare il raggio che incide sul cladding (o ad ogni caso su mezzo con

ϑ

indice di rifrazione più basso rispetto al mezzo di partenza) con angolo , provocando un raggio

i

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

=

riflesso con angolo , tale che , ed un raggio trasmesso con angolo , con più ampio

r i r t t

ϑ >

n n

rispetto all’angolo di incidenza , poiché (solo così si può avere riflessione totale), ciò si

i 1 2

può vedere dalla legge di Snell:

ϑ ϑ

⋅ = ⋅

n sin n sin in questo caso il mezzo 1 è il core ed il mezzo 2 è il cladding.

1 1 2 2

Figura 2. Comportamento del raggio incidente all'interfaccia fra due mezzi

con indici di rifrazione n1 ed n2 con n1>n2.

ϑ ϑ

ϑ ϑ

Riscrivendo la formula, ricordando che nel caso considerato è , e è , e dividendo ambo i

1 i 2 t

ϑ

⋅

membri per n sin , si ha:

t

1 ϑ

sin n

=

i 2

ϑ

sin n

t 1 ϑ deve essere 90 gradi, pertanto poiché il

Per avere la riflessione totale l’angolo di trasmissione t

° =

sin 90 1 , si ha: 3

Michele Nava

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n

ϑ = 2

sin e l’angolo di incidenza per il quale si ha riflessione totale si chiama angolo

i n

1

ϑ

critico , che viene determinato con la seguente formula:

c  

n

 

ϑ = 2

arcsin

 

c n

 

1

Se l’angolo di incidenza è inferiore all’angolo critico si avrà che il raggio penetra anche nel secondo

mezzo, e nel caso delle fibre ottiche provocherebbe perdite considerevoli.

Un’ulteriore conferma della riflessione interna totale, può essere ottenuta come segue:

 

( ) n

1  

ϑ ϑ ϑ ϑ

= − = ⋅

2 1

2

cos 1 sin sin sin

ricordando che , sostituendo nella

 

t t t i

n

 

2

precedente equazione si ha: 1

 

2 2

 

n

 

ϑ ϑ

 

= − ⋅ 2

1

cos 1 sin quando l’angolo di incidenza è maggiore dell’angolo

 

t i

 

n

 

 

2 n

ϑ > 2

sin

critico allora il , e pertanto il coseno dell’angolo di trasmissione diventa puramente

i n

1

immaginario, è possibile scrivere:

2 2

   

n n

ϑ ϑ ϑ

   

= ± ⋅ ⋅ − = ⋅ −

2 2

1 1

cos i sin 1 B sin 1

dove è possibile porre , ed

   

t i i

n n

   

2 2

avere:

ϑ = ± ⋅

i B

cos t

Dei due segni riportati quello da usare è il segno “meno”, al fine di evitare andamenti divergenti

all’infinito che sarebbero incompatibili dal punto di vista fisico.

Si consideri ora il fattore di fase P dell’onda trasmessa al secondo mezzo:

π

⋅

2

[ ]

( )

ω λ

= = ⋅

= ⋅ − ⋅ k , poiché v T ed inoltre la

P exp i t k r dove λ

t t c

=

n v , con c che è la velocità

velocità in un mezzo con indice di rifrazione può essere scritta

2 n 2

[ ]

m

⋅ 8

della luce nel vuoto ( 3 10 ), allora è possibile riscrivere la k come segue:

s t

π

⋅

2

=

k considerando che la lunghezza d’onda della radiazione nel vuoto è

t c ⋅ T

n 2

λ = ⋅

c T , la k può essere scritta come:

o t

π

⋅

2

= ⋅

k n

λ 2

t o

Dalla figura 3, è possibile giustificare la seguente eguaglianza, dovuta a considerazioni

trigonometriche:

ϑ ϑ

= ⋅ + ⋅

r z sin y cos

t t 4

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Figura 3. Situazione nel mezzo con indice di rifrazione n2, dopo l’incidenza.

Tenuto conto della precedente uguaglianza è possibile scrivere il fattore di fase, per l’onda che si

propaga nel secondo mezzo, che nel caso delle fibre ottiche è il cladding, come segue:

[ ]

( )

ω ϑ ϑ

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

P exp i t k z sin k y cos ricordando

t t t t 2

   

n n

 

ϑ ϑ ϑ ϑ

 

= ⋅ = ± ⋅ ⋅ −

2

1 1

sin sin cos i sin 1

che ed inoltre che , è possibile scrivere il

   

t i t i

n n

   

2 2

fattore di fase in tale forma:

 

 

 

2

   

 

 

n n

 

ω ϑ ϑ

   

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ± ⋅ ⋅ −

2

1 1

P exp i t k z sin k y i sin 1

 

   

 

 

t i t i

 

 

n n

   

 

 

2 2

 

 

ϑ

prendendo la soluzione negativa per il cos , si ha:

t

 

  2

 

   

n n

 

 

ω ϑ ϑ

   

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

2

 

1 1

P exp i t k sin z exp k sin 1 y

   

   

t i t i

n n

     

 

   

2 2

Sostituendo il valore di k si ha:

t  

  2

 

   

π

π

⋅ ⋅

n n

2 2

 

  ϑ

ϑ

ω    

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

2

 

1 1

P exp i t n sin z exp n sin 1 y

   

  λ

λ  

2 i 2 i

n n

     

 

   

o 2 o 2

Pertanto lungo la direzione y l’onda decresce con la distanza, perché si è scelto il segno negativo

ϑ

per il cos , altrimenti è facile capire che si avrebbe avuta una soluzione non fisicamente

t

realizzabile, non è infatti possibile che l’onda cresca esponenzialmente penetrando in un mezzo.

Il decadimento con la distanza nel secondo mezzo, che nel caso delle fibre ottiche è il cladding,

avviene con tale legge: 5

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Corso di Fisica III  

2

 

π

⋅ n

2

 

ϑ

 

= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

2

1

( ) exp 1

F y n sin y

 

λ

 

2 i

n

 

 

o 2

Come si può vedere F(y) decade esponenzialmente con y, pertanto il raggio incidente penetra molto

ϑ ϑ

poco nel mezzo con indice di rifrazione n . Tuttavia quando è molto vicino a , allora il

2 i c

termine in radice quadrata tende a zero e l’onda può estendersi apprezzabilmente nel secondo

mezzo. ϑ

In generale di quanto si propaga nel secondo mezzo dipende da n n e da , ma ad ogni caso è

1 2 i

λ

sempre una lunghezza dell’ordine di , la lunghezza d’onda della radiazione nel vuoto.

o 6

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Guide d’onda dielettriche planari

Prima di trattare in maniera più approfondita le fibre ottiche, è bene studiare le guide d’onda

dielettriche planari, costituite da una barra di materiale dielettrico semi infinita di spessore d ed

indice di rifrazione n (detta core), posta in mezzo a due regioni di indice di rifrazione n che è

1 2

possibile chiamare regioni di cladding.

Figura 4. Struttura della guida d'onda dielettrica planare.

In figura 4 è possibile vedere la struttura appena descritta, che nonostante la sua semplicità è molto

utile dal punto di vista matematico, poiché è conveniente trattare una geometria piana invece di una

cilindrica, ed inoltre tutte le informazioni che possono essere ricavate da tale geometria possono

essere estese quasi integralmente alla più complicata geometria cilindrica.

In figura 5 è possibile osservare il percorso di un raggio nella guida d’onda dielettrica planare che

ϑ

incide all’interfaccia core cladding con un angolo superiore all’angolo critico.

i

Figura 5. Percorso di un raggio incidente con un angolo superiore all'angolo critico.

7

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Il principale risultato che lo studio delle guide d’onda planari produce riguarda lo studio della

propagazione dei fronti d’onda, come si può osservare nella figura sottostante.

Figura 6. Fronti d'onda nella guida dielettrica planare

Un determinato fronte d’onda può propagarsi soltanto se le fasi in A e C sono le stesse o

π

⋅

2 .

differiscono per un multiplo di

La differenza di fase fra il raggio passante per A ed il raggio passante per C è data dalla differenza

φ ϑ