Esercizi verifica limiti

Esercizi verifica limiti

Applicando la definizione di limite, verifichiamo lim_x→2(x² + 1) = 5.

Scelto un ε > 0, risolviamo la disequazione |(x² + 1) – 5| < ε e verifichiamo che l’insieme delle sue soluzioni contiene un intorno di 2.

• |(x² + 1) – 5| < ε ⇔ |x² – 4| < ε ⇔
  • x² – 4 < ε < 0
  • x² – 4 > –ε > 0

Prima disequazione

Risolviamo l’equazione associata:

x² – 4 – ε = 0 → x² = 4 + ε → x = ±√4 + ε.

La prima disequazione ha per soluzioni –√4 + ε < x < √4 + ε.

Seconda disequazione

Risolviamo l’equazione associata:

x² – 4 + ε = 0 → x² = 4 – ε.

Poiché ε è un numero reale positivo arbitrariamente piccolo, possiamo supporre ε < 4, ossia 4 – ε > 0, quindi:

x = ±√4 – ε.

La seconda disequazione ha per soluzioni x < –√4 – ε ∨ x > √4 – ε.

Compiliamo il quadro delle soluzioni.

Le soluzioni del sistema sono perciò –√4 + ε < x < –√4 + ε ∨ x < √4 + ε < x < √4 + ε. La disequazione data ammette come soluzioni l’unione di due intervalli: il primo, –√4 + ε < x < –√4 – ε, costituito da numeri negativi, non è un intorno di 2, mentre il secondo, x < √4 + ε < x < √4 + ε, lo è, come possiamo verificare:

• 4 – ε < 2 < √4 + ε < √4 + ε ⇔ 4 – ε < 4 < √4 + ε ⇔ –ε < 0 < ε.

Poiché l’intervallo ]√4 – ε; √4 + ε[ è un intorno di 2, il limite è verificato.

Verifichiamo che _x→2 lim ^-2/_|x-2| = -∞, mediante la definizione.

Dobbiamo verificare che, scelto M > 0, arbitrariamente grande, esiste un intorno completo di 2 per ogni x del quale, escluso al più 2, si ha ^-2/_|x-2| < -M:

^-2/_|x-2| < -M → ²/_|x-2| > M.

Poiché |x-2| > 0 per x ≠ 2, possiamo passare ai reciproci invertendo il verso della disuguaglianza:

|x-2|/2 < 1/M → ^-2/_M < x-2 < ²/_M → 2 – ²/_M < x < 2 + ²/_M.

Per ogni x, escluso x = 2, dell’intorno completo ]2 – ²/_M; 2 + ²/_M[ di 2, il valore della funzione è minore di –M, quindi il limite è verificato. L’intorno è circolare e ha raggio δ = ²/_M.