Esercizi svolti sui teoremi delle funzioni derivabili

Applicabilità del Teorema di Rolle

f(x) = x³ - 4x

I = [-2, 2]

Stabilire se è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo I e, in caso affermativo, determinare il punto c.

f è continua in [-2, 2]

f è derivabile in (-2, 2)

f(-2) = -8 + 8 = 0

f(2) = 8 - 8 = 0

f(a) - f(b)

f'(x) = 3x² - 4

f'(x) = 0 → 3x² = 4

x² = ⁴/₃

x = ± √⁴/₃

x = ± ²/_√3

x = ± ²/₃ √3

c₁ = ²/₃ √3 e c₂ = -²/₃ √3

n°6

f(x) = x + |x-2| m [2, 3]

D è continua in [2, 3]

f(x) =

• x + (x-2) per x ≥ 2
• x + (2-x) per x < 2

f(x) =

• 2x-2 per x ≥ 2
• 2 per x < 2

f'(x) =

• 2, x > 2
• 0, x < 2

f(x) è derivabile m (-∞, 2) U (2, +∞)

m x = 2 non è derivabile

VEDIAMO => calcoliamo

• Lim h→0⁻ (f(2+h) - f(2))/h = Lim h→0⁻ (2 - 2)/x-0 = 0

f'⁻(2) = 0

Lim h→0⁺ (f(2+h) - f(2))/h = Lim h→0⁺ (f(2+h) - 2)/h

con 2+h > 2

= Lim x→2⁺ (2f)/x = 2

=> f'⁺(2) = 2

Osservare dx e dx come questi —> f(x) non è derivabile m x = 2

f(x) = 2 per x < 2

f(x) = 2x-2 x > 2

x=2 —> PUNTO ANGOLOSO

f'(x) =

• (2/(x²+hx+3)) - x(2x+h)/(x²+hx+3)²
• x² + hx + 3 - 2x² - hx/(x²+hx+3)²
• 3 - x²/(x²+hx+3)²

⋯ ◦ ◦ ◦ ⋯ ◦ ◦

◦

f(x) =

x/x²+h

• D = R

b = [1, 4]

f(a) = 1/5

f(l) = f(h)

f(h) = h/20 = 1/5

f'(x) = (x²+4) - x(2x)/(x²+4)² = x²+4 - 2x²/(x²+4)²

4 - x²/(x²+h)²

f'(x) = 0→ x² = 4

x = ±√4 = ±2

◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦

n°18

f(x) = √(3x - x²) , m I = [0, 3]

D: 3x - x² ≥ 0 x (3 - x) ≥ 0 0 ≤ x ≤ 3 f continua

f'(x) = 1/(2√(3x-x²)) · (3 - 2x) = (3 - 2x)/(2√(3x - x²))

f'(x) = 0 → 3 - 2x = 0 x = 3/2 ∈ I → c = 3/2

n°19

y = e^-x2 , m I = [-3, 3]

D = ℝ f continua m I = ℝ

f(-3) = e^-9 = f(3)

f'(x) = e^-x2 · (-2x)

= -2x · e^-x2

f'(x) = 0 → -2x = 0 c = x = 0

c ∈ I

n°20

f(x) = e^x + 2e^-x

D = ℝ I = [0, ln2] f continua in I ⊆ ℝ

f(0) = 1 + 2 = 3

f(ln2) = e^ln2 + 2e^-ln2

= 2 + 2(1/2) = 2 + 1 = 3

n° 27

f(x) = ³⁄_√x

I = [-2,2]

D = ℝ

f continua in If derivabile in I

f'(x) = ²⁄_3∛x = ^{2 √x2}⁄_{3∛x · ³√x²} = ³⁄₃ ^√x2⁄_x

f'(x) è discontinua in x = 0

lim x → 0⁺ f'(x) = lim x → 0^{+ 2}⁄_3∛x = ²⁄_0⁺ = +∞lim x → 0^- f'(x) = lim x → 0&sup>- ²⁄_3∛x = ²⁄_{0&sup>- = -∞}

f'(x) ≠ f'(x)

Il teorema non è applicabilen.o.a.o.

n° 28

f(x) = -9x + 1 x > 3

I = [2, h]

f è continua in [2,h]

f(x) =          ^√per x = 2⊃*

L _∞x =

  ^{2x - 1}⁄₅ x > 3