Esercizi svolti di Fisica 2 (parte sui campi elettrici)

Dal diagramma di corpo libero si ha:

qE

ϑ

x) qE – Tsen = 0 = T

sin ϑ

qE cos

cos qE=mg tan

ϑ=mg

ϑ ϑ

y) T –mg = 0 sin ϑ

mg

E= tan ϑ

q

Possiamo anche trovare la densità di carica superficiale sulla lastra usando la formula

σ

E= 2 ε 0 mg

σ ε tan

=2 ϑ

0 q -9

5. Si ha una sfera piena uniformemente carica con q = 8*10^ C e raggio R = 10 cm. La

ρ=br

densità di carica volumica è . Calcolare (1) il valore della costante b; (2) il campo

elettrico in funzione del raggio; (3) la differenza di potenziale tra il centro della sfera e un

punto sulla sua superficie. 2π π R

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 3

q= dq= ρdV br r sin drd

dφ dφ sin d r dr

= ϑ ϑ=b ϑ ϑ

• 0 0 0

Dove si è usato il cambio di coordinate (da cartesiane a sferiche) per l’elemento infinitesimo

di volume.

Svolgendo l’integrale si ha:

4

R 4

q=b2π2 R

=bπ

4

q

b= 4

π R

• Calcoliamo il campo elettrico utilizzando in teorema di Gauss

r < R 2π π r

( )

q 1 1

∮ ∫ ∫ ∫ ∫ 3

⃗

E d Σ= ρdV dφ sin d r dr

= = ϑ ϑ

ε ε ε

0 0 0 0 0 0

4

1 r

2

( )

E 4π r b4π

= ε 4

0

2

b r

E= 4 ε 0 2

r

Per punti interni alla sfera il campo elettrico cresce parabolicamente secondo .

r > R

q

⃗

∮ E d Σ= ε 0

q

E= 2

4π ε r

0

Per punti esterni il campo è sempre quello generato da una particella carica.

• Possiamo ora calcolare la differenza di potenziale

R R 3

R

−b −b

⃗

∫ ∫ 2

⃗

∆ V E∙ ds= r dr=

=− 4 ε 12 ε

0 0 0 0

-8 -8

6. Quattro cariche q = q = 0,5*10 C e q = q = -0,5*10 C sono poste nei vertici di un

1 2 3 4

quadrato di lato

a = 20 cm. Calcolare (1) il campo elettrostatico generato dal sistema di cariche nei punti A e

-10

B; (2) la forza agente sulla carica q0 = 0,5*10 C posta nel centro del quadrato; (3)

l’energia potenziale del sistema di cariche. Calcolare (4) inoltre il lavoro che bisogna

compiere per portare un protone dall’infinito al punto B.

• Nel punto A

4 q

1

∑ i

⃗

E ∙ u

= ⃗ i

2

4π ε r

i=1 0 i 2

a/¿

¿

¿

¿ 1 q

E ∙

=E =

1 2 ¿

4π ε 0

Diretto verso il basso l’asse delle y negativo

posto come origine il punto A. Il campo

generato dalla particella 2 sarà uguale in

modulo e direzione ma in verso opposto.

2

a /¿

¿

2

¿

¿

2

a +¿

¿

√ 1 q

E ∙

=E =

3 4 ¿

4π ε 0

Anche il campo generato dalle particelle 3 e 4 è uguale in modulo ma cambia in direzione e

verso. Per la particella 3 la direzione è data dalla retta congiungente il punto A con il punto in

cui è situata la particella; il verso e quello diretto dal punto A verso la particella. Il vettore

campo elettrico forma quindi un angolo di circa 26° con il segmento congiungente A e B. Esso

a/2 a

è calcolabile considerando che corrisponde al seno dell’angolo e è il coseno;

sapendo che il loro rapporto dà la tangente dell’angolo, basta fare l’operazione inversa, ossia

arcotangente per ottenere l’angolo cercato.

Per quanto riguarda la particella 4 l’angolo è il medesimo mentre la direzione sarà speculare

rispetto al segmento AB (cioè diretta lungo la congiungente tra il punto A e la particella 4).

Analoghe considerazioni si possono fare per calcolare il campo elettrico nel punto B facendo

attenzione ai versi dei singoli vettori i quali dipendono dal segno della carica (diretto verso la

carica generatrice per quelle negative, in senso opposto per le cariche positive).

• Nel punto 0

4 q

1

∑ i

⃗

E ∙ u

= ⃗ i

2

4π ε r

i=1 0 i q

∣ ∣

1

E ∙

=E =E =E =

1 2 3 4 2

4π ε √

a 2/2

( )

0 √

q 2

⃗ ∣ ∣

E E cos °

=4 (45 )=

1 2

( )

√

2π ε a 2/2

0

La forza agente su una carica q posta in questo punto sarà data da:

0

⃗ ⃗

F E

=q 0 √

q q 2

o

F= 2

√

2π ε a 2/2

( )

0

• L’energia potenziale del sistema può essere calcolata prendendo un punto di riferimento

all’infinito

∆ U =U−U ∞

4 4 q q

1 ∑ ∑ i j

U= k

2 r

i=1 j=1 ij