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Instabilità Lastra
- Piastra con 2 lati opposti S.S. e gli altri 2 con vincoli nulli.
- S.S. = Appoggio Semplice
Applico equazione bi-armonica
Nel caso in esame, diventa:
∂4w/∂x4 + 2∂4w/∂x2∂y2 + ∂4w/∂y4 = - Nx / D ∂2φ/∂x2
Assumo una soluzione nel rimo:
w(x,y) = f(y) sin mπx/l con m: semi-onde numero.
- Tale soluzione soddisfa le condizioni di vincolo
in x = 0 e x = l : w = 0 ; ∂2w/∂x2 + ν ∂2w/∂y2 = 0
- Si calcola le derivate di w(x,y) che comparano nella equazione bi-armonica e vi si sostituiscono
∂/∂y = f'(y) mπ/l cos mπx/l
∂2w/∂x2 = -f(y) m2π2/l2 sin mπx/l
d3w/dx3 = -f(y)m3cos(mx/a)
d3w/dx4 = f(y)m4sin(mx/a)
d4w/dx2dy2 = -f''(y)m2π2sin(mπx/a)
Nuove sostituire nella bi-armonica:
[fIV(y) - 2m2π2/a2f''(y) + m4π4/a4] = +Nx/Δ∫f(y)m2π2/a2
fIV(y) - 2m2π2/a2f''(y) + (m4π4/a4 + Nx/Δ m2π2/a2)∫f(y) = 0
In è ottenuta una equazione differenziale
In y la cui soluzione varia a seconda
dei vincoli negli altri 2 lati.
Sì, risolve tale equazione differenziale la
cui soluzione generale è:
f(y) = c1e-2γ + c2e2γ + c3cosβy + c4sinβy
γ = √(m2π2/a2 + Nx/a(1/Δ) + m2π2/a2)
β = √(m2π2/a2 + Nx m2π2/Δa2)
Con queste condizioni si chiude il procedimento
matematico e ad ogni nicchia vale
(N/V)cl = kN2/D
k = f(b/D) → tabulato
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