Statistica parte 2 - Appunti e Esercizi

Statistica Descrittiva

Variabili statistiche e le loro rappresentazioni

Vedere le slide dei prof.

Variabili e Popolazione

Popolazione: Σ di tutte le unità statistiche

Variabilità nelle unità statistiche

Es. popolazione che sostiene l‘esame di statistica

Variabilità: non tutti prenderanno lo stesso voto

Statistica descrittiva

scopo: descrivere

Variabili categoriche (o qualitative)

Appartenenza ad un gruppo Es. sesso esperienza lavorativa

Gerarchia dei modi in cui le variabili possono almestarsi

Codificazione attraverso codici o numeri

• 1 = pessimo
• 2 = insuff.
• 3 = suff. ecc.

non sono variabiliLA VARIABILE É UNA

Variabili qualitative possono essere:

• Ordinali (PICCOLO - MEDIO - GRANDE)
• Non ordinali (NOMINALI)

Variabili numeriche

DISCRETE

• N° di figli per famiglia a Venezia

CONTABILIMISURABILI

CONTINUE

Peso

Dati quantitativi

• Scala ad intervallo (non esiste lo zero assoluto)
• Scala di rapporto (esiste lo zero assoluto)
  • Peso (0 uguale per tutti!)
  • K₀=0 vuoto

Non esiste lo zero temperaturaDire che t=0 non ha alcun senso

Dati grezzi

è consentito

• è necessario organizzarli in
  • tabelle
  • grafici

Distribuzione di frequenza

Tabelle utilizzate per organizzare i dati

n= n° totale delle unità statistiche osservate

Frequenze assolute

Modalità in cui possiamo osservare una variabile

Frequenze relative

f_i = n_i/n (freq assoluta/n)

∑ _j=1 ^k f_i = 1

PERCENTUALI

Analogia formale

Tra distribuzione di probabilità e distribuzione di frequenza relativa

Non vanno confuse Non c'è probabilità

Diagrams:

• barre
• torta
• bastonini

Classificazione

Perdiamo il dettaglio della cifra classi confrontanti = stessa ampiezza

campione rappresentativo

peso 3 unità statistiche e vedo quanto hanno in tasca

x₁ = 0.60 €     x₂ = 100 €     x₃ = 20 €

x̄ = ^120.6⁄₃ = 40,2 €         1^o campionamento

altro campionamento:

x₁ = 80 €     x₂ = 60 €     x₃ = 120 €

x̄ = ²⁶⁰⁄₃ = 80 €          2^o campionamento

inferenzia statistica

ogni campionamento è frutto di casualità → problema!

[ES]

elezioni politiche

• 2 formazioni A e B
• A ci incarica di vedere quanto A gode di consensi
• Θ = fraz di elettori favorevoli ad A

- 0 ≤ Θ ≤ 1 estraggo

un solo campione:

• 0 = il lettore estratto è favorevole a B
• 1 = " " " " ad A

Θ = probabilità = P(x = 1)_i - Θ

X = variabile casuale di Bernoulli

X ~ Bor (Θ)

definiamo

X vc. strettamente legato all'evento che ci interessa

X₁, X₂, ..., X_n^F_θ θ ∈ ℍ ⫅ ℝ^K

per particolare distribuz di prob. GENERALIZZARE

fissiamo la dimensione dei campione: [n]

X_i ~^F_θ iid i=1,...,n [MODELLO PARAMETRICO]

n vc che penserano n osservazioni campionarie

vettore di v.c.

(X₁, ..., X_n) ∈ S

SPAZIO CAMPIONARIO

in cui troviamo tutti i possibili

campioni che possiamo estrarre

n = osservazioni (non n campioni! il campione è uno solo)

[statistica] = una qualsiasi trasformazione T_n

delle variabili campionarie X₁, X_n tale

che T_n va dallo spazio campionario a

ℝ^M

T_n: S → ℝ^m con m≥1

é una variabile casuale /

sempre calcolabile percio non deve dipendere

DA θ

con una formula analitica

t_n = T_n (X₁, ..., X_n)

realizzazione campionaria della statistica T_n

ES di Prima

X̄_n=1/n Σⁿ(i=1)X_i = esempio di statistica T_n (X₁, ..., X_n

ETÀ (x_i)

• 21
• 23
• 26
• 30
• 32
• 33
• 34
• 38
• 40
• 41
• 47
• 49
• 50
• 53
• 55
• 61
• 65

FREQ. ASSOLUTA

• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 2
• 1
• 2
• 1
• 1
• 1
• 1
• 1
• 2

FREQ. RELATIVA

• 0.05
• 0.10
• 0.05
• 0.10
• 0.05
• 0.10

FREQ. REL. CUMULATA

• 0.05
• 0.10
• 0.15
• 0.20
• 0.25
• 0.30
• 0.35
• 0.40
• 0.50
• 0.55
• 0.65
• 0.70
• 0.75
• 0.80
• 0.85
• 0.90
• 1.00

Distribuzione delle frequenze di età

X_i ~ N(θ, 5²) iid

X_n = ½ _i=1 [Σ] X_i ~ N(θ, 5² / n)

E_n = X_n - θ ~ N(0, 5² / n)

Fissati due numeri reali a e b con a ≤ b

possiamo calcolare P(E_n ∈ [0,6]) P(-0.5 ≤ E_n ≤ 0.5) ≈ 0.03

X ~ F_θ

↓ qualsiasi distribuzione con parametro θ (dipende da θ)

modello probabilistico

n variabili campionarie X_i i = 1, ..., n iid

definiamo uno stimatore

T_n(X₁,...,X_n) ~ G_θ

↓ qualsiasi

PRINCIPIO DEI CAMPIONAMENTO RIPETUTO:

ripetere il campionamento A PARITA' di CONDIZIONI

definiamo n dimensione del campione

t_n = valore assunto dallo stimatore su campione

t_n = T_n (X₁..., X_n,)

B(T_n) = E[T_n - θ] = 0

↓

distansione della stimatore T_n (Bias)

se B(T_n) > 0 aspettanzia ≠ 0, >0 sovrastimiamo il parametro

se B(T_n) < 0 sovrastimiamo il parametro θ

P(Z ≤ c)=1 - _α/₂

C = quantile di ordine 1 - _α/₂

C = Z_1-α/2

P (- Z_1-α/2 < Z ≤ Z_1-α/2 ) = 1 - α

P (- Z_1-α/2 ≤ √_n (X_n - 9) / 6 ≤ Z_1-α/2 )

- moltiplico tutto per 6

- 6 Z_1-α/2 ≤ √_n (X_n - 9) ≤ 6 Z_1-α/2

- divido per √_n

- 6/√_n Z_1-α/2 ≤ (X_n - 9) ≤ 6/√_n Z_1-α/2

-X_n - 6/√_n Z_1-α/2 ≤ - 9 ≤ -X_n + 6/√_n Z_1-α/2

- moltiplico tutto per -1

P ( - X_n - 6/√_n Z_1-α/2 ≤ θ ≤ X_n + 6/√_n Z_1-α/2 ) = 1 - α

INTERVALLO CASUALE CHE CONTIENE θ