Esercizi per la preparazione dell'esame di Principi di base dell'energia elettrica

ANALISI DI RETI IN REGIME ALTERNATO SINUOIDALE

(metodo fasoriale)

ESERCIZIO 1

Con riferimento al circuito di figura, operante in regime alternato sinusoidale, determinare la tensione v_A(t) espressa nel dominio del tempo.

• E = 5 V
• A = 10 A
• f = 50 Hz
• Θ = π/3
• R₁ = 5 Ω
• R₂ = 7 Ω
• R₃ = 4 Ω
• L₁ = 1 mH
• L₂ = 3 mH
• C₁ = 10 μF
• C₂ = 20 μF

Soluzione:v_A(t) = √2 · 117.3155 · cos(αt - 0.0360) V

ESERCIZIO 2

Con riferimento al circuito di figura, operante in regime alternato sinusoidale, determinare:

• il valore dell'impedenza Z in modo che sia massima la potenza attiva assorbita dall'impedenza stessa
• il valore di tale potenza.

• R = 3 Ω
• E = 30∠π/3 V
• A = 12∠π/6 A
• X_l = 8 Ω
• X_r = 12 Ω
• X_c = 4 Ω

Soluzione:Z = 3 - j4 Ω    P_MAX = 2.4269 kW

ANALISI DI RETI IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE: METODO FASORIALE

ESERCIZIO 3

Con riferimento al circuito di figura, operante in regime alternato sinusoidale, determinare:

• il valore dell’impedenza Z̅ in modo che sia massima la potenza attiva assorbita dall’impedenza stessa;
• il valore potenza attiva PΣ in tale condizione.

Dati:

• E₁ = 18 V
• E₂ = 20 V
• E₃ = 22 V
• A = 12 A
• R₁ = 12 Ω
• R₂ = 8 Ω
• Xc = 14 Ω
• δ₁ = π/4
• δ₂ = π/3
• δ₃ = π/6

Soluzione:

• Z̅ = 4.8 + j14 Ω
• PΣ = -1895.6288 W

ESERCIZIO 4

Con riferimento al circuito di figura, operante in regime alternato sinusoidale, determinare:

• lo sfasamento di V̅ᵣ rispetto ad I̅ₜ;
• la potenza apparente complessa S̅ₜ in transito attraverso la superficie Σ (interpretare fisicamente il segno di PΣ e QΣ).

Dati:

• E̅ = 18 · e^jπ/6 V
• A = 12 A
• f = 50 Hz
• Z̅ = 3 + j5 Ω
• R = 4 Ω
• L = 3 mH
• C = 2 nF

Soluzione:

• φ = 2.4284 rad
• PΣ = -63.22 W (fisicamente assorbiti dal bipolo entro Σ)
• QΣ = -120.92 VAr (comportamento induttivo per bipolo entro Σ)

Es. 1

_ZL1 = jωL₁ = j2πfL₁ = 0,34j Ω_ZL2 = jωL₂ = j0,912 Ω_ZC1 = -j/ωC₁ = -j348,31 Ω_ZC2 = -j/ωC₂ = -j 159,15 Ω_E = 5∠90°_I = 10 A ∠30°

Effetto di E

R₂ e C₁ sono cortocircuitate.Il potenziale da G coincide con quello di C.

_Zeq = R₁ + _ZL1 + R₃ + _ZL2 + _ZC2 = (9 - j157,9) Ω_IE = _E / _Zeq = (-31,563∠7,498) mA_Va = -_IE(R₃ + _ZL2 + _ZC2) = (-0,1584 - 5j) V= 5,003 V ∠-31,96°

Metodo Rapp.: Partitore di TensioneV_a = (E(R₃ + _ZL2 + _ZC2))/(R₃ + _ZL2 + _ZC2 + R₁ + _ZL1)

Sovrappongo gli effetti:

V_TH = ∑V_TH = 192,04 V ∠-27,82°

Trovo _zTH

t è lo stesso impedendo che abbiamo trovato per l’effetto del generatore A

_zTH = (4,8 - j 14) Ω => _z = _zTH^* = (4,8 + j 14) Ω

Thevenin

V_TH - _zTHI - zI + _E3 = 0

I = _{t E3} + V_TH / _zTH + _z = 17,83 A ∠-25,66°

P = -Re{_z}( |I|² + _E3I^* )

= -15255,56 - 370,12 = -1885,68 W

Guardando i segni:

Viene richiesta le potenza erogata;

L'impedenza assorbe → segno negativo.

Effetto A

\[\bar{z_{eq}} = \bar{z_{123}} + \bar{z_{45}} = (10,386 + j2,082) \Omega\]

\[V_{eq} = \bar{A} \cdot \bar{z_{q}} = (85,44 + j83,35) \angle V = 127,11 V \angle 20,7214^\circ\]

\[\bar{I_{e1}} = \frac{\bar{A} \cdot \bar{z_{3}}}{\bar{z_{3}} + \bar{z_{2}} + \bar{z_{e1}}} = 4,234 A \angle -0,483 \text{ rad}\]

\[\bar{I_{e2}} = \frac{\bar{A} \cdot \bar{z_{5}}}{\bar{z_{5}} + \bar{z_{4}}} = 4,1831 A \angle 0,665 \text{ rad}\]

Sovrapposizione

\[ \bar{S_{e1}} = \bar{E_1} \left(\sum \bar{I_{e1}} \right)^* = 102,53 \angle 9,463 = (91,74 + j45,79) VA\]

\[ \bar{S_{e2}} = \bar{E_2} \left(\sum \bar{I_{e2}} \right)^* = (90,86 + j111,20) VA\]

\[ \bar{S_A} = \bar{S_{VA}} \cdot \bar{A}^* = (1488,58 + j373,44) VA\]

\[\bar{S_{Z1}} = \bar{Z_i} \left(\bar{I_{e1}}^2\right) = (15 + j21) VA\]

\[ S_f = S_{un} = \bar{S_{e1}} + \bar{S_{e2}} + \bar{S_{A}} = \bar{S_{Z1}} + \bar{S_{Z2}} + \bar{S_{Z3}} - \bar{S_{Z4}} - \bar{S_{E4}} - \bar{S_{E5}} \]

\[\bar{S_{E}} = \bar{S_{A}} + \bar{S_{EL}} - \bar{Z_{2}} - \bar{S_{Z3}} - \bar{Z_{4}} - \bar{S_{E8}} = \bar{S_{Z1}} - \bar{S_{E1}}\]

\[S_e = 65,85 + j69,46 \quad \text{come utilizzatore}\]

\[\bar{S_e} = -65,35 - j61,46 \quad \text{come generatore}\]

ANALISI DI RETI TRIFASE IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE

ESERCIZIO 1

Con riferimento al circuito di figura, determinare:

• La potenza complessa generata.
• Nel caso Z_L = Z_R = Z_S = 3Ω la tensione V_rn tra i due centri stella.

Soluzione:Ā = 50291 + j13645 VAV_rn = 0 V

ESERCIZIO 2

Con riferimento al circuito di figura, determinare:

• L'indicazione del wattmetro.

Soluzione:P_w = 53,8229 W

V̅_P1 = 80 V

V̅_P2 = 100 V ∠ 80°

V̅_P3 = 120 V ∠ 120°

V̅₀ = ^V̅_P1/_Z̅1 + ^V̅_P2/_Z̅2 + ^V̅_P3/_Z̅3 = (33.2818 - j26.6682) V

I̅_a = ^{V̅_R - V̅₀}/_Z̅2 = (1.3871 - j1.3673) A

I̅_B = ^{V̅_P2Q - V̅₀}/_Z̅2 = (-1.327 + j4.2223) A

I̅_C = ^{V̅_P3 - V̅₀}/_Z̅3 = (-1.7779 - j1.97655) A

I̅₀ = I̅_a + I̅_B + I̅_C = (-9.8235 - j7.3505) A

I̅_R = ^{V̅_R - V̅_X}/_R = (11.4286 - j14.2857) A

P_w = Re{V̅_w ⋅ (I̅_w)*}

= Re{(V̅_P3 - V̅₀) ⋅ (-I̅₀)*} = 53,8229 W

Es. 7

V̅_a = 220 V ∠0°

V̅_b = 220 V ∠-120°

V̅_c = 220 V ∠120°

Il carico è simmetrico → Ho una terna di correnti simmetrica ed equilibrata sul carico. Le correnti al generatore non sono simmetriche ed equilibrate perché ho una serie di due impedenze tra le fasi A e B.

V̅₀ = ∠ V̅

I̅_a = V̅_s/z̅ = 44 A

I̅_b = V̅₀/z̅ = (22 - j 38,105) A

I̅_c = V̅_c/z̅ = (22 + j 38,051) A

z̅_AB = z̅₁ + z̅₂ = (8 + j 24) Ω

I̅_AB = V̅_A - V̅_B/z̅_AB = (11,2687 - j 3,8834) A

|I̅_a| ≠ |I̅_b| = |I̅_c| = I

P = 3Re{z̅} I² + Re{z̅_AB} |I̅_AB|² = 30855 W

Q = 3Im{z̅} I² + Im{z̅_AB} |I̅_AB|² = 5945 VAR

 = P + jQ = (30.855 + j 5.945) VA

|Â| = A = 31.332 VA = 31,332 kVA