23 Esercizi di dinamica - strutture ad n gradi di libertà

Esercizi vari

Il sistema è costituito da due masse disposte su una molla vincolate alle base, la molla è priva di massa.

2 masse = 2 gradi

Assi intesensibili - è nulla la mossa a torsione risolvendo solo 2 gradi

Torque = 4 - 2 = 2 gradi di maniera

I comelli ospitano cos‘ dispositivi connotatori d’ bloccare la coordinata blisa, in modo da avere libero solo una sporcmento enutitico cosi da poter relatere la rigidezza del sistema.

Energia cinetica: le mossa torsione restituto: T₁ = 1/2 m q₁² T₂ = 1/2 m q₂²

quindi: posso compilere la matrice delle masse come:

m = {_{m 0 0 m}} = [_{1 00 1}]m

Matrice di rigidereza: in questo sensitio non si hanno in mossa ne carsti connotavi stuttivi per cui le gole proprietà è IData dello interistico il costitutato per lo nollueter della rigidezza del sistema.

Pur mendo solutato 2 gradi dinaniti per solidare la matrice delle rigideza devo

considerare da voccursi coordinate libere che ppermetano di osservare la disforaemos della pensor costitutiva da un solo elemento continuo su tutta a lunghezza ex.

9₁,9₂ sono le coordinate che desimina il comportamento piu questo afferentita delle soluquali masse.

P0’, trattie la ripressa di condensazione statica , process die eliminacio di due conordinate 9₃,9₄ in quastro firmamento di 9₁, 9₂

k₁₂ = conti 1 nel medio;

Ho preso q_i; posso prenderli in alternativa =1 o =0:

q₁ = 1

q₂, q₃, q₄ = 0

• k₁₁ = (12+2)ĖT/l³ = 2 ĖT/l³
• k₂₁ = -12 ĖT/l³
• k₃₂ = 0
• k₄₁ = 6 ĖT/l²

q₂ = 1

q₁, q₃, q₄ = 0

• k₁₂ = -12 ĖT/l³
• k₂₂ = -6 ĖT/l²
• k₃₂ = 12 ĖT/3
• k₄₂ = -6 ĖT/l²

q₃ = 1

q₁, q₂, q₄ = 0

• k₂₃ = 0
• k₄₃ = -6 ĖT/l²
• k₃₃ = 8 ĖT/l
• k₂₃ = 2 ĖT/l

Scrivi il modello agli autovettori nel caso u_G1 = q₁ v_G1 = 0 θ_G1 = 2/L q₁

v_G2 = q₁ v_T2 = -2 q₂

Ho per cui risoluto in genere dei due cos.: il campo di velocità e spostamenti.

T₀ = 1/2 m (ᥤ_G1² + v_G1²) + 1/2 I_G1 θ₁² = = 1/2 m (q₁² + q₂²) + 1/2 (1/12 L² m) (-2/L q₁ + 2/L q₂)² = = 1/2 m (q₁² + q₂²) + (1/2 /12 L²) (L²/2 q₁²+ L²/2 q₂² - L/L² q₁ q₂) = = 1/2 [5/3 mq₁² + 5/3 mq₂² - 4/3 mq₁ q₂]

per il secondo corpo

Studio supplementare di un corpo e ricavo le rigidezze:

Corpo 2:

• ∑Fy = 0 → R_B = 21T/l³
• ∑M_A = 0 → R_A ⋅ l - 21T ⋅ l/2 + 21T ⋅ l/2 = N₂ ⋅ l → N₂ = -42T/l³

Corpo 1

• ∑F_x = 0 → R_A = -2T/l³
• ∑M_G = 0 → k₁₂ ⋅ l₂ - 21T ⋅ l/2 ⋅ l/2 - 21T ⋅ l/2 ⋅ l/2 + 42T ⋅ l/2 ⋅ l/2 - 21T ⋅ l/2 ⋅ l/2 ⋅ l/2 + 42T ⋅ l/2 ⋅ l/2 · (2T/l)
• k₂₂ = (21/2 + 21 + 42 + 42 + 21 + 21 + 1)T/l³ = 196T/l³ = k₂₂

• ∑F_x = 0 → 196T/l³ + N₁ + N₂ + T/l³ + k₁₂ = 0

• k₁₂ = 196T/l³ + 42T/l³ - 42T/l³ - T/l³ = 149T/l³ = k₁₂

quindi: ho rispettato la simmetria di tenuta ad carico mutuo.

ho perciò ricavato la matrice delle rigidezze come:

k = T/l^{3 [151 -193]} _[ -193 178_]

quindi componendo:

(6+4+3)^T_L

quindi sui due corpi

corpo 2:

• ∑Fy => k₂₂ = (24 + 3)^T_L² = -27^T_L²

• ∑M => k₂₁

N =

N = (-27 + 24 + 23)/2)^T_L² = 25^T_L²

corpo 1:

• ∑M => k₁₁ = 25/2 + 24 + 25/2^T + N

Forze Generalizzate:

dal carico sinusorio distribuito:

Sswet = [∫ f q·

seno per cui trovo la Q_i, solitando lo spostamento, punti le carco, computo del carico traingolo esteri.

Due: la adessia di carci :

sise = 0.1, ottengo: differnti configura^zioni di spostamento per difetti (?).

quelle caricato del carri. Triangolo; applicato la sommesione degli spetti per musco aver il capo degli quatronetiti cui primi ogni punto dell'esto.

δu_i(x) = (1 - ^2x/_L) f_q1 + ^2x/_L f_q2

Sswet = ∫ f(t) δu_i(x) dx = - [∫₀^L (^{x - 2t}/_L) f₀ x' + ∫₀^L (^2x/_L) f₀(x) ]dx =

= [∫₀^L ( - ^x/_2L - ^x³/_3L³ ) f₀ f_q1 + [∫₀^L (^2x/_3L)² f_q2 ]dx

= [ - ^L/₂ - ^x³/_2L ] f_q1 + [ ²/₃ L f_q1] f₀

Sswet = ^L/₆ l f₀ f_q1 + ²/₃ l f₀ f_q2

Q_est =

[

^L/₆ l f₀

-²/₃ l f₀

0

]

Quoi: arlo partito one lutlo : loro: calutto: treolllaure lo ilsiette della

forme distibutte per lo relative compronte de quatronetto come struointe delle due compouneti.

Sswet + Ft su = ^z0L/₂ - (³/₆ f_q1 + ⁵/₃ f_q2 ) q_p = f₀ ( ^-L/₆ ƒ_q1 + ^z/₃ L SQ_i )

(come prima)

cosθ = 1 q₅ = 0

M_B^1/2 = eJ/L

1

M_B^1/2 = 5eJ/L

k_B¹ = rotazione dovuta alla rotazione su il cos(θ).

Scrivo il sistema:

• k_Bq₇
• k _₋Bk₂ k_₋B₂
• M_B^1/2 + M_B¹q ₋ M_B^B

cos θ su cui M_B^B è la reazione alla rotazione k_B¹ fisso (4 3 2 alla rotazione 1/2 apparato nel modo B^B.

cos θ scontro rotto risulto tra ferma; quindi M_B^B = 0, ma f.Se è soggetta alle coordinate ^B

^np

k_B¹ = -M_B^1/2/

M_B¹ = M_B q = q_B/k_B cos θ realizzata su q_B² (4 q_B/q_B⧸ 33 θ

T_B = q_B O_K53 1/&epsilon(e)

5l^B PB cos θ

k

. l²

13.6/N_ε

σ

c₃

b^L (M = eJ_K3

k_B BC (L² « J

k₂₃ k²3 k_&swe ⬚Bc - Mc⇒

M_C = eJ^/L2

T_C = -k₂₃ (Tent_BBq

ΔM 0 4/5

1. 49/5 -4 23 (-eJ/L³
2. -4 4
3. 49/3 2 -9/5