Esercizi per lo Scritto di Meccanica Razionale

pendolo semplice, il cui punto di sospensione Q si muove con ω= costante

• trovare la L
• trovare l'eq.ne di moto

Data

E = A {[(h+1)x + 5y]î + [(6h-1)x - 17hy]ĵ}

A = cost. ∈ ℝ

• determinare le dimensioni di A, h
• valore di h affinché F = conservativa
• determinare U= potenziale (- = energ. potenz.)

Disco di massa m= f(t), si muove:

1. due molle k₁, k₂ fissate in O e A, e applicate in G, (alla stessa quota)

• trovare le eq.ni di moto

Due punti materiali A(m), B(M) sono vincolati a stare sulle rispettive rette r, s (lisce)

• α < π/2
• i due corpi sono vincolati tra loro da una molla K

• trovare la posizione di equilibrio discutendone la stabilità
• trovare le eq.ni di moto

Lamina (tratteggiata) di massa m:

• 1/4 di ^⊕ di r = 2a
• 1/2 di _⊕ di r = a

• trovare il momento d'inerzia I_zz
• trovare G = CdM
• supponendo che ruoti con W_o ì cat. e di sia la Frep, trovare il momento delle reazioni vincolari

F

1. dimensioni di A, b

2. h t.c. F = conservativa

4. potenziale U di F con

3. dato Q punt. studiarne equilibrio immaginando che Q

sia soggetto alla Fpeso e si muova su

F: massa

lunghezza

tempo²

h = adimensionale

A = M^-1 L^-1 T^-2

rot F = i j k

= - ∂ Y/∂z - ∂ X/∂z

Y

= 6h - 1 - 5 = 0 h = 1

F = conservativa

F = A [(2x + 5y)i + (5x - 3y)j]

∫

2x + 5y dy = 1/2 (2x + 5y)²

x² + 5xy + C(y₀)

U = x² + 5xy - z² + Cost.

Iamina omogenea

1. I_zz
2. centro di massa
3. M_o (o) con w_z = cost. intorno a z + F_peso

[I_zz = I_zz (P) + I_zz (F)]

m = ρ 1/4 π (2a)² + (ρ) 1/2 π a² = ρ π a² - ρ π a² (1 - 1/2) = ρ l m / π a² (1 - 1/2)

I_zz (P) = 1/4 m_p (2a)² = m_p a², ρ l π a² ≠ l m / π a² (1 - 1/2)

a² m a² = 2 m a²

I_zz (C) + HUYGENS = 1/4 m_F a² 1/4 - π m_F a²/2 = 1/4 1 m m/4 + m/2 (1 - 1/2) π a²/2

= 1/4 Σ/m a² - 1/4 m a² + HUYGENS = - 1/4 m a² m a² + - 5/4 m a²

[I_zz = 2 m a², 5 m a²/4 = 3 m a²/4]

m X_G = m₁ a + m₁ (d_opp) z

m Z_G = m - m_p 4a/3 + m₁ 4a/3 + (- ρ l π a² - ρ l π a²/2) z = ρ l π a² 8/3 - ρ l π a² 4a/3

- z - ρ l π a² 8/3 π + 4a/π = 2/π 8/π - 4a/π - 4a/π

* m X_G = m_p a + m_p 4 (2a)/3 = 2/π π a² (1 - 1/2) + X = ρ π a² 8/π - ρ l π a² a 2/3

→   Z X = ρ l π a² (8/3 - a/2) 2 l   + 16a - 3a/3 - 16/3 - a/3 π

Ripasso:

M(P) = (O-P) ∧ R

M(t) = M(P) + (T-P) ∧ R

V(P) = d/dt V(t) = V(P) + ω^(T-P)

d/dt ω^ = derivato versore

f_iⁱ = [cosψ -sinψ; sinψ cosψ] ← rotaz di S*; T_i^* = α_ii + β_jj + γ_kk - cosenl direction

V(P) = V_R(P) + V_T(P) dove: V_R(P) = Ẋî + Ẏĵ + Ẑk̂

- V_r(P) V(o) + ω(P-O)

a(P) = a_R(P) + a_T(P) + a_C(P) dove: a_R(P) = Ẍî + Ȳĵ + Żk̂

- a_r(P) = d/dt V_r(P) = d(o∗ + ω(P-O) + ω[ω(P-O)]

a_c(P) 2 ωV_R(P)

STATICA:

R^(e) = 0; M^(e) = 0; Si considerano: F_i applicare, F_i vincolari

= 6 eqn scalari

• Problemi di statica: - determinare la posizione di equilibrio
• - determinare le R vincolari x la posiz di equilibrio

[ponendo R̄=0; M̄=0 si ottengono 6 eq. scalari; proiettando le F, M sugli assi → si ricavano le R vincolari]

VINCOLI:

1. APPOGGIO: impedisce gli spostamenti normali; y_c=cost.
2. CERNIERA: Y_c=cost. X_c=cost. (2 g.d.l.)
3. INCASTRO: Y_s=cost. X_c=cost. Ψ=cost. (3 g.d.l.)
4. PATTINO: X_c=cost. Ψ=cost. (2~)