Esercizi guidati di matematica 2

LINEARMENTE INDIPENDENTI

Stabilire se i vettori in R²:

u = (1,0) v = (0,1) ω = (1,-1)

sono linearmente indipendenti. In caso negativo, esprimere uno di questi come combinazione lineare degli altri due.

Svolgimento:

• Si considerano 3 scalari arbitrari α₁, α₂, α₃ ∈ R e si impone che la combinazione lineare con i vettori assegnati sia uguale al vettore nullo 0 = (0,0):

α₁ u + α₂ v + α₃ ω = 0

α₁ (1,0) + α₂ (0,1) + α₃ (-1,-1) = (0,0)

• Si svolgono prima i prodotti (vettore per scalare) e poi la somma tra i vettori a primo membro:

(α₁,0) + (0, α₂) + (α₃, -α₃) = (0,0)

(α₁ + 0 + α₃, 0 + α₂ - α₃) = (0,0)

• Due vettori sono uguali se sono uguali le rispettive componenti, dunque la precedente uguaglianza si traduce nel seguente sistema lineare:

⎧ α₁ + α₃ = 0

⎨

⎩ α₂ - α₃ = 0

• Si scrive la matrice incompleta associata al sistema. Affinché i vettori siano linearmente indipendenti, il rango della matrice A deve essere uguale al

NUMERO DELLE INCOGNITE DEL SISTEMA, E QUINDI DEVE UGUAGLIARE IL NUMERO DEI VETTORI (IN QUESTO CASO 3).

^-1

A = | 1 0 1 0 1 -1 |

MATRICE 2 x 3

(n° RIGHE x n° COLONNE)

RANGO MASSIMO 2

_det A = | 1 0 0 1 | = 1 ⋅ 1 - 0 ⋅ 0 = 1 RANGO 2

POICHÉ IL RANGO È INFERIORE AL NUMERO DEI VETTORI, ESSI SONO LINEARMENTE DIPENDENTI.

• IN QUESTO CASO DEVO ESPRIMERE UNO DEI VETTORI COME COMBINAZIONE LINEARE DEGLI ALTRI DUE.

QUINDI DAI VETTORI u = (1,0) E v = (0,1) UNA LORO COMBINAZIONE LINEARE SARÀ:

α₁ u + α₂ v = α₁ (1,0) + α₂ (0,1) = (α₁,0) + (0,α₂) = (α₁ + 0,0 + α₂)

• PER FARE IN MODO CHE ω = (1,-1) SIA COMBINAZIONE LINEARE DI u E v SI DEVE IMPORRE CHE:

ω = α₁ u + α₂ v

E CALCOLARE I COEFFICIENTI DELLA COMBINAZIONE LINEARE:

(1,-1) = (α₁,α₂)

• I DUE VETTORI SONO UGUALI SE COINCIDONO COMPONENTE PER COMPONENTE, DUNQUE LA PRECEDENTE UGUAGLIANZA EQUIVALE AL SISTEMA:

u × v = (-6i, 3j, -3k) = ω

vers(ω) = _ω/‖ω‖ = _{(-6i, 3j, -3k)}/_{√((-6)²+(3)²+(-3)²)} = _{(-6, 3, -3)}/_√54 =

= (_-6/_√54, ₃/_√54, _-3/_√54)

x - 1 = 4y - 12t = -3z + 6

• CASO 3: LA RETTA r₃ INTERSEZIONE DEI PIANIp₀: x + 3y - 2z = 1p₁: 2x - y + z = 0:

• SI METTONO A SISTEMA I DUE PIANI

{x + 3y - 2z = 12x - y + z = 0}

E SI RICAVA:

{x + 3y = 1 - 2z2x - y = -z}

E QUINDI, RISOLVENDO IN x, y RISPETTO A z:

{x = 1 - 2z - 3yy = z + 2x}

{x = 1 - 2z - 3(z + 2x)y = z + 2x}

{x = 1 - 2z - 3z - 6xy = z + 2x}

{x = (1 - 5z) / 4y = z + 2((1 - 5z) / 7)}

DA QUI, PONENDO z = t, SI OTTENGONO LE EQUAZIONI PARAMETRICHE DELLA RETTA:

2t + 2p = 2

p = -3 + 3 = 6p

t = 1 - 2p

2 · 1 + 2 · 0 = 2

p = 0

t = 1 - 2 · 0 → t = 1

I parametri sono t = 1 e p = 0.

• Per questi valori dei parametri le rette si incontrano in P_o = (3, 3, 1), dunque le rette sono incidenti e le loro equazioni si possono riscrivere evidenziando il punto comune P_o.

P_r = (3, 3, 1) + t (2, 3, -1)

P_s = (3, 3, 1) + t (-2, 1, 2)

• La determinazione del piano che le contiene si può fare nel seguente modo:

(P - P_o) · (v x w) = 0

(x - 3, y - 3, z - 1) : (2, 3, -1) x (-2, 1, 2)) = 0

(x - 3, y - 3, z - 1) : ((3 · 2 - (-1) · 1), (1 - (-2) - 2 · 2), (2 · 1 - 3 · (-2))) = 0

(x - 3, y - 3, z - 1) : (7, -2, 8) = 0

7(x - 3) - 2(y - 3) + 8(z - 1) = 0

4x - 2y + 6 + 8z - 8 = 0

4x - 2y + 8z - 23 = 0

• CASO 4: Il piano π₄ passante per P_o = (1, 0, -1) è parallelo al piano di equazione x + 2y - 5 = 0.

Determinante è uguale a zero

• Si prendono in considerazione le sottomatrici 2×2 e si calcola il determinante. Se almeno una di esse è maggiore di zero, allora la dimensione del sottospazio è 2.

det | 1 1 | = 1 ∙ 1 - 1 ∙ 0 = 1 ≠ 0

      | 0 1 |

Quindi ha dimensione 2.

• Calcolare il determinante della matrice:

= _i(-3(-1)-1·2)-_j(2·(-1)-1·1)+_k(2·1-(-3)·1)=

=_i+3_j+_k

• Quindi il prodotto vettoriale è:

u x v = (1, 3, 4)

→ Determinare il rango delle matrice:

• Caso 1:

Matrice 2 x 3Rango max = 2

• Non essendo una matrice quadrata non si può calcolare il determinante

• Si calcolano i determinanti delle sottomatrici 2 x 2.Se un solo determinante risulta diverso da zero allora la matrice avrà rango 2.

det A^*₁ = 1·6 - 3·2 = 0

det A^* = 3·1 - 2·6 = -9 ≠ 0 Rango 2

ammette una e una sola soluzione;

b) se il rango di A è uguale al rango di (A|b) ma minore di n, allora il sistema ammette ∞ soluzioni, quindi ammette infinite soluzioni che dipendono da n-rango A parametri.

• dal momento che il rango di A è minore del rango di (A|b) allora il sistema è impossibile, cioè non ha soluzioni.

→ trovare autovalori e autovettori della matrice:

A = ^{( 0 1 1 )}

  ^{( 1 1 0 )}

  ^{( 1 0 1 )}

• si calcola:

det (A-^λI₃) = ^{( -λ 1 1 )}

     ^{( 1 1-λ 0 )}

     ^{( 1 0 1-λ )}

   = 1 ^λ 1 ^{-λ 1}

   1-^λ 0

   1 0 1-^λ =

 = (1-^λ(1-^λ)^·1) - 0(-^{λ ·} 0+1^·1) + (1-^λ)(-^λ(1-^λ)-1^·1) =

 = (^λ-^λ)(^λ+1)(^λ-2)

gli autovalori sono ^λ₁ = 1, ^λ₂ = -1, ^λ₃ = 2

• SI CALCOLA IL DETERMINANTE DI UNA MATRICE 2x2:

det A₁^* = 1 1 1 3 = 1 · 3 - 1 · 1 = 2 ≠ 0

• SAPENDO CHE:

dim Im (f) = RANGO AALLORA LA DIMENSIONE DELL’IMMAGINE È:dim Im (f) = 2

* LA DIMENSIONE DI Ker (f) :

• SAPENDO CHE:

dim Ker (f) + dim Im (f) = n_ιℝ³ → ℝ⁴

QUINDI LA DIMENSIONE DEL NUCLEO È:dim Ker (f) = n - dim Im (f)dim Ker (f) = 3 - 2 = 1

* UNA BASE DI Im (f) :

• SI PRENDE UNA SOTTOMATRICE 2x2 E SI CALCOLA IL DETERMINANTE:

det A_ι^** = 1 1 1 3 = 1 · 3 - 1 · 1 = 2 ≠ 0