Esercizi e temi d'esame svolti di statistica per la finanza

Statistica per la Finanza

Primo Parziale

Alle primarie per il voto del leader di uno schieramento politico si presentano due candidati: Rossi e Bianchi. Da precedenti elezioni dello stesso tipo è emerso che il 53% dei votanti è di sesso maschile. Inoltre recenti sondaggi prevedono che il 54% della popolazione femminile voterà Bianchi mentre il 52% della popolazione maschile voterà Rossi.

a) Con le informazioni a disposizione, calcolare la probabilità che Rossi ha di vincere le elezioni.

b) Rossi vince le elezioni e si riscontra che: il 58% dei votanti è risultato essere di sesso maschile, il 57% della popolazione femminile votante ha votato per Rossi ed il 41% della popolazione maschile votante ha votato per Bianchi (non ci sono state schede nulle). Avendo estratto a caso una scheda dall’urna che contiene tutti i voti e avendo riscontrato che tale voto è a favore di Bianchi, si calcoli la probabilità che la scheda sia stata compilata da un maschio.

c) Estratto a caso un elettore dei votanti, qual’è la probabilità che sia di sesso maschile ed abbia votato per Rossi.

A) Con le informazioni nel testo possiamo ottenere la seguente tabella:

P(maschio) = 0,53

P(femmina) = 1-0,53 = 0,67

P(femmina_n_Bianchi) = P(CIF) PCF) = 0,2538

P(maschio_n_Rossi) = P(CIM) P(M) = 0,2756

P(Rossi) = P(CIM) * P(BIA) = 0,6918

B)

P(maschio) P(Bianchi)

P(Bianchi) = 0,2538

P(Bianchi|maschio) = P(CIM) P(maschio)

P(Bianchi)

= 0,61 * 0,58 = 0,568

0,6182

C)

P(maschio_n_Rossi) = 0,3422 = 0,3422

Tabella punto precedente

1.

Sia data la funzione

p(x) = 1/2 - ax   x = 1,2,3,4,5 0   altrove.

• a) Si determini il valore di a che rende questa funzione una funzione di probabilità per una variabile casuale discreta X e la si rappresenti graficamente. [1/10]
• b) Si calcolino E(X) e Var(X).   [2 ; 1]
• c) Si ricavi la funzione di ripartizione F(x) e se ne rappresenti il grafico. [1 ; 3]
• d) Si calcolino il primo e il terzo quartile e si li si riconosca sul grafico di F(x).

2.

Sia data la funzione

f(x) = (ax(1-x)   0 ≤ x ≤ 1 0   altrove.

• a) Si determini il valore di a che rende f(x) una funzione di densità per una variabile casuale X assolutamente continua e se ne tracci il grafico. [6]
• b) Si ricavi la funzione di ripartizione.
• c) Si calcolino E(X) e Var(X).   [1/2 ; 1/20]
• d) Si determinino il momento standardizzato di indice 2 ed il terzo momento centrale di X.   [1 ; 0]
• e) Si calcoli P(X > 1/3|X < 1/2).   [13/27]

3.

Sia data la funzione

p(x,y) = k(x + y)   per (x,y) = (1,0); (2,0); (3,0); (3,1); (3,2) 0   altrimenti

• a) Si determini il valore di k tale che rende p(x,y) funzione di probabilità congiunta di una variabile casuale bivariata (X,Y).   [1/15]
• b) Si calcoli la distribuzione marginale di Y.
• c) Si ricavino E(Y) e Var(Y).   [14/15;164/225]
• d) Si calcoli la seguente probabilità P[(X > 1)∩(Y > 0)].   [3/5]

1. Il 30% dei clienti di una gelateria richiede un gelato servito in un cono ed il 90% di coloro che richiedono un cono vogliono la panna montata. Complessivamente, solo il 15% dei clienti della gelateria richiede un gelato con l’aggiunta di panna montata.
   1. Si calcoli la probabilità che un cliente scelto casualmente richieda un gelato con l’aggiunta di panna montata e che non sia servito in un cono. [0,12]
   2. Sapendo che un cliente ha richiesto l’aggiunta di panna montata, qual è la probabilità che desideri un cono? [0,2]
   3. Si calcoli la probabilità che, su 100 clienti scelti casualmente, al più 20 richiedano l’aggiunta di panna montata. [0,9192]
2. Un’urna contiene sei palline numerate da 1 a 6. Ne vengono estratte 3 senza reinserimento.
   1. Si dica quante sono le possibili terne ordinate. [120]
   2. Si dica quante sono le terne ordinate che contengono il 2 in seconda posizione. [20]
   3. Si dica quante sono le possibili terne ordinate che contengono il 2. [60]
   4. Rispondere ai quesiti a) b) c) se l’estrazione avviene con reinmissione. [216; 36; 91]
   5. Rispondere ai quesiti a) e) se l’estrazione avviene senza reinmissione e non interessa l’ordine di estrazione. [20,10]

cono   no cono

PANNA   0,03   0,12

NO  PANNA   0,27   0,58

0,3             0,7

0,3     0,9                  0,27

A) Probabilità che il cliente chieda un gelato = panna + cono

P(C panna ∩ C) = 0,12

B) Sapendo che un cliente ha chiesto l’aggiunta di panna, probabilità che voglia cono?

P(C | Panna) = P(C ∩ Panna) / P(Panna)    0,03 / 0,15 = 0,2

• TEMA ESAME 25.06.15

X_k = AFFITTO MENSILE (€)

X₁ = SUPERFICIE APPARTAMENTO (m²)

X₂ = SPESE CONDOMINIALI MENSILI (€)

X₃ = STATO EDIFICIO (ANNI)

1. SI DETERMININO I PARAMETRI DELLA RETTA AI MINIMI QUADRATI + COMMENTO

β̂₂ = 278,02β̂₁ = 2,041,00r₁₂² = 3,6317

• SECONDO IL MODELLO DEI MINIMI QUADRATI, AUMENTANDO DI 1m² LA SUPERFICIE L'AFFITTO MENSILE DOVREBBE AUMENTARE DI 3,6317 €
• SECONDO IL MODELLO, L'AFFITTO MENSILE FATTO DAL COINQUILINO, NEL CASO IN CUI LA SUPERFICIE FOSSE 0, SAREBBE DI 17,361 €

2. SI DETERMININO I PARAMETRI DEL PIANO AI MINIMI QUADRATI + COMMENTO

β̂₂ = 6,613β̂₁ = 2,2350

• AUMENTANDO DI 1m² LA SUPERFICIE DELL'APPARTAMENTO E LASCIANDO INVARIATE LE SPESE CONDOMINIALI, L'AFFITTO MENSILE AUMENTERÀ DI 2,2350 €
• X̂_i = 20,3222 + 2,2350 X₁ + 0,5655 X₃
• SECONDO IL PIANO AI MINIMI QUADRATI, SE LA SUPERFICIE DELL'APPARTAMENTO E LE SPESE CONDOMINIALI FOSSERO NULLE, L'AFFITTO MENSILE SAREBBE DI 20,3222 €

3. SI VALUTI E COMMENTI LA QUALITÀ DELL'ADATTAMENTO DEL PIANO

il piano di regressione ai minimi quadrati spiega il 75,76% della variabilità totale dell’affittamento

4. SI VALUTI IL MIGLIORAMENTO DELL'ADATTAMENTO DELLA SUPERFICIE DEL PIANO IN TERMINI DI DEVST E RESIDUI

Il piano AI MINIMI QUADRATI SPIEGA IL 4,737% IN PIÙ DELLA VARIANZA RISPETTO ALLA RETTA

5. SI SUPPONGA DI AVERE DETERMINATO IL LIBROANNO X̂ = 533,53 - 2,350 X₁ + 0,50 X₃ - 0,499 X₄

(B) Si ricava la funzione di ripartizione e il grafico

Fx(x) = ∑ p(X≤x_ii)

Fx(0) = 0

Fx(x) = {

• 0 x