Esercizi di Statistica

Esercitazione

Esercizio 7.72

Se è rilevato che l'80% degli studenti iscritti all'ultimo anno di una certa università ha accettato una proposta di lavoro prima della laurea. Per coloro che hanno accettato, gli stipendi annui seguono una distribuzione normale, con media 37,000 $ e deviazione standard 4,000 $.

X∼N(37,000, 4,000²)p=0.8, proporzione della popolazione = p

1. In un campione casuale di 60 studenti dell'ultimo anno, qual è la probabilità che meno del 70% abbia accettato di lavorare prima della laurea?

   n=60 p̂ = proporzione campionaria

   P( _{p̂ < n} ) = P( _{Z < 0.7} ) = ?

   P( _{p̂ < 0.7} ) = P( _{Z < 0.7} ) = P( _{Z < (0.7-0.8)/√(0.8(1-0.8)/60)} ) = P( _{Z < -1.94} )

   F(1.94) = 0.9738 1 - 0.9738 = 0.026

2. In un campione casuale di 6 studenti dell'ultimo anno, qual è la probabilità che meno del 70% abbia accettato prima della laurea?

   n=6 P( _{p̂ < 0.7} ) = P( _{Z < 0.7-0.8/√(0.8(0.2)/6)} ) - P( _{Z < -0.61} )

   F(0.61) = 0.7290 1 - 0.7290 = 0.2709

3. In un campione casuale di 6 studenti dell'ultimo anno che ha accettato di lavorare prima della laurea, qual è la probabilità che lo stipendio medio sia superiore a 38,000 $?

   P( _{X̄ > 38,000} ) = P( _{Z > 38,000-37,000/1,400/√6} ) = P( _{Z > 0.61} )

   F(0.61) = 0.7290 1 - 0.7290 = 0.2709

d) Si sceglie a caso uno studente dell'ultimo anno. Qual è la probabilità che abbia accettato una proposta di lavoro con uno stipendio superiore a 38.000 $?

P (X > 38.000) = P (Z > \frac{38.000 - 37.000}{4.000}) = P (Z > 0.25)

1 - 0.59871 = 0.40129

Esercizio 7.62

Una società offre il servizio di manutenzione per condizionatori domestici. Si è notato che i tempi di servizio relativi a ogni intervento seguono una distribuzione normale, con media 60 minuti e deviazione standard 10 minuti. Si considera un campione casuale di 4 interventi. X ~ N(60, 10²) m = 4;

a) Qual è la probabilità che la media campionaria dei tempi di servizio sia superiore a 65 minuti?

P ( \bar{X} > 65) = P (Z > \frac{65 - 60}{\frac{10}{\sqrt{4}}}) = P (Z > 1) ⇒ F (1) = 0.8413

1 - 0.8413 = 0.1586

b) Quale valore delle medie campionarie dei tempi di servizio è preceduto con probabilità 0.10?

F (1.28) = 0.90 P (Z < -1.28) = 0.10 -1.28 = \frac{\bar{X} - 60}{\frac{10}{\sqrt{4}}} ⇒ \bar{X} = 53.6

c) Quale valore della deviazione standard campionaria dei tempi di servizio è superato con probabilità 0.10?

Varianza campionaria → distribuzione \chi^{2}

P (X_{n-1}^{2} > X_{n-1, \alpha}) = P (X_{n-1}^{2} > k ) K_{n-1, \alpha}^{2} = 3, 0.10 = 6.25

\chi^{2}_{3, 0.10} = \frac{3 S^{2}}{\sigma^{2}} ⇒ \frac{6.25 = 3 \cdot S^{2}}{10^{2}} \Rightarrow S^{2} = \frac{625}{3} \Rightarrow S^{2} = 208.33 S = 14.43

Esercizio 5

Intervallo di confidenza di livello 0.90 [120;460] per la media μ delle somme evase.

1. Ricavare dell'intervallo una stima puntuale dell'evasione media giornaliera.

X̄ ∈ [120, 160]

2. Quanto grande il campione da cui è stato ottenuto l'intervallo, si assumme che l'evasione si distribuisca normalmente con σ = 10.

Z_0.1/2 = 1.645 σ=10

X̄=130

120 = X̄ − Z_{0.1/2 σ/√n} ⇒ 120 = 130 − 1.645 _10/√n

1.645 _10/√n = 130 − 120 = 1.645 10/√n = 16.55 ⇒

√n = 16.55/10 ⇒ √n = 16.55/10 ⇒ n = 2.7 ≈ 3

Esercizio 8.27

Una clinica propone un programma di dimagrimento. Analizzando i dati di un campione casuale di 11 suoi pazienti, sono registrate dopo un anno di trattamento le seguenti diminuzioni (in Kg):

18 25 6 11 15 20 16 19 12 17

1. Trovare un intervallo di confidenza a livello 99% per le medie della popolazione

σ = non nota n < 30 ⇒ si utilizza la T di Student

X̄_i = 159 n = 15.9

(X_i − X̄̄)²

S² = ∑_i²/9 = S² = 28.1 S = 5.30

1 − α = 0.99 α = 0.01 α/2 = 0.005

Esercizio 3

[Test sulla bontà di adattamento]

Il capo dell'Hotel Panorama inventa quasi ogni giorno nuove ricette. Secondo il Sign X...

1. Specificare le ipotesi da sottoporre a verifica.
2. Le probabilità sono uguali a quelle specificate H0 = ... H1 = ... non sono uguali... .

Valore critico - X²_{1, 0.05} = 3.841

Accetto H0

Non effettuo H0 se le probabilità sono quelle specificate.

Esercizio 9

All'aeroporto vengono effettuati dei controlli più approfonditi su alcuni passeggeri.

È vero che una persona di etnia africana ha una maggiore probabilità di essere controllata rispetto ad una di etnia asiatica?

P(S|AF) > P(S|AS)?

P(S|AF) = P(S∩AF) / P(AF) = 22/40 = 0.55

P(S|AS) = P(S∩AS) / P(AS) = 44/80 = 0.55

D. È corretto affermare che i controlli dipendono dall'etnia del passeggero? Rispondere utilizzando un apposito test statistico con un livello di significatività del 1%.

χ² = ΣΣ(O_ij - E_ij)² / E_ij

tavola delle frequenze osservate tavola delle frequenze attese

0.18♦0.16

0.31♦0.32

0.80♦0.98

2.37♦2.38

Esercizio 14.22

I fogli di pellicola prodotti da un macchinario sono periodicamente controllatiper verificare che le varianze dello spessore e le varianze degli spessori superi 2.25 mm²e non si renda necessario un intervento per controllare il processo produttivo. In un campionecasuale di 10 fogli prodotti in un particolare turno si sono ottenute le seguentimisure di spessore (in mm):

• 226
• 232
• 227
• 225
• 228
• 229
• 230

1. Ecalcolare la varianza campionaria

S² = 227,6

• n = 10

Σ(x_i-̅x)² = 46,4 S² = 46,4

9 = 5,15

2. Verificate, a un livello di significatività del 5%, l'ipotesi nulla che la varianza della popolazione sia σ² = 2.25

H₀: σ² ≤ 2.25

H₁: σ² > 2.25

α = 0.05

• Χ² = (n-1)S² / σ²

Rifiuto H₀ se Χ_s² ≥ Χ_1-α²_n-1

X² = 9*5,15 / 2.25

Valore critico della X_1-α² = 16.919

[Rifiuto H₀]

Esercizio

[Test Parametrico sulla Media]

Si vuole verificare se il contenuto di nicotina di una certa marca di sigarette, che nelpacchetto riporta la dicitura nicotina ≤ 23 mg, è effettivamente quello dichiarato dalproduttore. Si sa che il contenuto di nicotina è distribuito normalmente condeviazione standard media pari a 1.4 mg. Le analisi condotte su un campionedi dieci sigarette scelte casualmente hanno fornito i seguenti risultati:

1. Sigaretta 1
2. 25,01
3. 24,13
4. 23,23
5. 25,60
6. 22,41
7. 24,78
8. 22,30
9. 22,91
10. 25,02
11. 24,62

Σxi = la tabelle di sotto pone a verifica

-5 = la tabelle di sotto pone a verifica

Σx_i /n = 243.61/10= 24.361

H₀: μ₁ ≤ 23

H₁: μ₁ > 23

A usadas livelli di significativà del 5%, se l'affermazione del produttore varespinta o omena

[Procedimento]

confrontare la statistica test con il valore critico.

Statistica test: Z_x= (̅x - μ) / σ/√n = 24,34 - 23 / 1/√10 = 4,24

α = 0.05

Valore critico Z_α = Z_0,05=1,64