Esercizi di probabilità

Esercizi 1

1)

• a. _(Ω,F,P)? -> Fissi 2 estratti...
• b. P(A)? = 1% uno dei 2 estratti è 6
• c. P(B)? = Somma dei 2 estratti = 10
• d. P(A|B)?
• e. gli eventi { 1, 3 estr = 21 } e { 1, 3 estr = 22 } sono uguali?

a. No Rimbussolamento!

• cardinalità Ω: 90×89 = 8010 -> Ω = { (1,2)... }
• enumerable -> Fisso calciato -> P(C(10,1)) = 1/8010 = 1,3 = 0,0126

b. 6 ∈ Ω₁ oppue 6 ∈ Ω₂ -> P(A) = 1/90 + 1/89 = 179/8010

c.

sono 2 i

{ uno dei 2 ₁ e 2 coppe ∈ ₂ } = 1 coppa { 21, 22 }

e. P(C = 21) = 89/8010; P (D : 22 ) = 89/8010; P (C∩D) = 1/8010

d. P(A|B) = (P(A∩B)) / P(B) = (2/8010) / (8/8010) = 1/4

2)

a. X = # teste su 3 lanci d'1 moneta

cardinalità Ω=2³=8 -> Ω = { ... } 8 esterni tu valli su calcolano; P(C(1,2,3) ) = 1/8

b. P(A) = 1-P(Ω) = 5/8; P(B) = 1-P(Ω) - A + 7/8 P (A∩C) = 1 (intervalli risultato ≠ intersection) 5/8 = 3/4

c. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 7/8 + 4/8 - 7/8 = 8/8

ii) P(B|C)=(P(A∩B)) / P(B) = 1/8

3)

Esercizio 3

Una scatola contiene due palline bianche e una pallina nera. Estraggo una pallina a caso: se è bianca lancio un dado e registro il risultato ottenuto, se è nera lancio due dadi e registro il più piccolo dei risultati ottenuti.

• Calcolare mediante la formula delle probabilità totale la probabilità di ottenere 2 al termine dell'esperimento.
• Calcolare mediante la formula di Bayes la probabilità di avere estratto una pallina nera sapendo che l’esito finale dell’esperiment è 2.

a. P(2)?

b. P(N|2)?

C_i = B,N

P(Bianco) = ²/₃ ; P(Nero) = ¹/₃

a. P(2) = P(2|B) . P(B) + P(2|N) . P(N) = ¹/₆ . ²/₃ + ⁷/₃₆ . ¹/₃ = ⁴/₃₆ + ⁷/₃₆ = ¹¹/₃₆

b. P(N|2) = ^P(N)/_P(2) = ^7/₃₆/_{¹¹/36 = ⁷/11}

4)

Esercizio 4

Si consideri lo spazio di probabilità Omega = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} con P({i}) = ¹/₅₅, per ogni “i”.

• Stabilire se gli eventi A = [multipli di due], B = [multipli di tre]; sono indipendenti.
• Dato C = [minori di 6] calcolare P(A|C), P(B|C).

oa. A = {2,4,6,8,10} udap?

P(A) = ²/₅₅ + ⁴/₅₅ + ⁶/₅₅ + ⁸/₅₅ + ¹⁰/₅₅ = ⁶/₁₁

P(B) = ³/₅₅ + ⁶/₅₅ + ⁹/₅₅ = ⁶/₁₁

b. P(C) = ¹/₅₅ + ²/₅₅ + ³/₅₅ + ⁴/₅₅ + ⁵/₅₅ = ³/₁₁

i) P(A|C) = ²/₅: ⁶/₅₅ = ²/₅

ii) P(B|C) = ^R(CB)/_R(CC) = ¹/₅

ESERCIZIO 2

Esercizio 1.1 Una scatola contiene due palline bianche e una pallina nera. Vengono effettuate due estrazioni con reimmissione e sia X il numero di palline bianche estratte.

• Stabilire insieme e funzione di probabilità di X;
• calcolare E(X) e V(X);
• calcolare P(X = 1|X ≤ 1).

a. I(x)? P(x=x)?

b. E(X)? V(X)?

c. P(X=1|X≤1)?

b₁,b₂,n → 2 estra. con reimb.

X=# Palline bianche

b. ① E(X)= ¹/₁₀ + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ = ⁴/₁₀

• ∇(-X+3) - ∇(X)= ¹/₁₀ + ¹/₂ + ³/₁₀ + ⁴/₁₀ = ¹

X∼Ber(¹/₁₀) udcp.de.x → [0|1], 0,1,0,5

ℙ(X+Y=2) = ℙ(X=2)⋅ℙ(Y=0)+ℙ(X=1).ℙ(Y=1)

= ²/₁₀ + ³/₁₀ = ²/₂₀

Esercizio 4

1. Esercizio 1.1 Sia X ∼ U[1,4].

fx(x)= {¹/₃, x∊K(1,4) 0, x∉K(1,4)}

E(X)= ⁽¹⁺⁴⁾/₂ = ⁵/₂ , ∇(X) = ⁽⁴⁻¹⁾²/₁₂ = ⁹/₁₂= ³/₄

a. ① ℙ(2< X ≤ 3.5) = ∫ ³/₃ 1^{3 3}/₃ 1^x=3,5 = ¹/₂

b. ② E(X²) = ∫⁴/₁ x² ∙ dx = [^3]/_3/^(9−4)⁴/_{1 ^x=4} = ¹²/₃(4−1) = ²⁸/₅ = 21,3

(ii) ∇(−2x+4) = ∇(X)(−4)/₄

c. ddp. de. y 200).

X ~ Bin (n=3, p=²/₃) → I(X) = {0, 1, 2, 3}

Y = max {X, 1}

→ I(Y) = {1, 2, 3}

a.) (i) P({X=1 ∪ Y=1}) =

= P(X=1 ∩ Y=1) / P(Y=1)

= P(X=1 ∩ {X=0 ∪ X=1} ∩ Y=1) = P(X=1) / P(Y=1)

= P(X=1) / P(Y=1) = 6/22 = 6/7

(ii) P({X=1} ∪ {Y=2}) = P(X=1) + P(Y=2) - P({X=1} ∩ {Y=2}) =

= 6/27 + 12/27 - 0 = 18/27 = 2/3

b.) Y₁, ...) Y₁₀₀ TLC → P((Y₁+...+Y₁₀₀-100•2,04) / √100•0,55)

EE(Y₁) = 7/27 • 1 + 4/8 • 2 + 8/27 • 3 = 55/27 ≈ 2,04

V(Y₁) = 7/27 • 2 + 4/3 • 2 + 8/27 • 3 • (2,04)² = 0,55