Esercizi di probabilità

Esercizi 1

1. a.

   No Reimbussolamento!

   • Cardinalità Ω=90*89=8010 -> Ω = { (1, 2), ... } : Ci saranno solo coppie
   • numerabile -> non si calcola
   • _P(i, j) = 1/8010 i ≠ j

2. b.

   • _P^(a) = ¹/₉₀ + ¹/₈₉ = ¹⁷⁹/₈₀₁₀ ≈ 0,02

3. c.

   • _P(B) = (₄/₉₀ + ₁/₈₉) · 8 = ⁸/₈₀₁₀
   • Tra 89 coppie qualcuna ce n'è 2 coppie non solo 1 coppia (21, 22)

4. d.

   • _P(A|B) = ²/₈ = ¹/₄

5. e.

   • _P(C=21) = ⁸⁹/₈₀₁₀ ; _P(D=22) = ⁸⁹/₈₀₁₀ ; _P(C∩D) = ¹/₈₀₁₀ -> ¹/₈₀₁₀ ≠ ⁸⁹²/_8010²

2

1. a.

   X = #testa in 3 lanci di moneta

   Cardinalità Ω = 2³ = 8 -> { . . . . } -> 8 terne

2. b.

   • _P(A) = 1 - _P(A^c) = ⁷/₈ ; _P(B) = 1 - _P(B^c) = 1 - ⁷/₈ = ¹/₈ ; _P(A∩B) = ³/₄
   • Ci sono 2 elementi supposti essere uguali

Esercizi 1

1)

• calcolare la probabilità dell'evento A: uno dei due estratti è il numero 61;
• calcolare la probabilità dell'evento B: la somma dei due estratti è 10;
• calcolare P(A|B);
• verificare l'indipendenza degli eventi - (primo estratto = 21) e (secondo estratto = 22);

a. Ω, F, P? -> Primi 2 estratti...

b. P(A)? A = uno dei 2 estratti è 6

c. P(B): B = Somma dei 2 estratti = 10

d. P(A|B)?

e. gli eventi { I estr = 21 } e { II estr = 22 } sono indip.?

1. No Reimbussolamento!ω = Ω = (1,2...) -> Ci saranno solo coppie
   • numerabile -> non si calcola
   • P(I,i) = 1/8010 ; i ≠ j
2. 6/Ω, 6 oppure 6/Ω -> P(A) = 1/90 + 1/89 = 179/8010 ≈ 0,02
3. cijP(B) =198/801028
   • P(A∩B) =P(∩∩) = (
   d. P(A|B) = P(A∩B) / P(B).
4. gli eventi { I estr = 21 } e { II estr = 22 } sono indip.?

2)

• stabilire se gli eventi A = (ottengo almeno un testa) e B = (ottengo almeno una croce) sono indipendenti;
• calcolare P(A unione B) e P(A|B).

a. Ω, F, P?B. A = (ottengo almeno 1T)B = (ottengo almeno 1C) sono indip.?

W(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 3/4 + 3/4 - 1/8 = 8/8

i) C3 (A|B) =P(A∩B) / P(B} = 4

Esercizio 3

Una scatola contiene due palline bianche e una pallina nera. Estraggo una pallina a caso: se è bianca lancio un dado e registro il risultato ottenuto, se è nera lancio due dadi e registro il più piccolo dei risultati ottenuti.

• Calcolare mediante la formula delle probabilità totali la probabilità di ottenere 2 al termine dell’esperimento.
• Calcolare mediante la formula di Bayes la probabilità di avere estratto una pallina nera sapendo che l’esito finale dell’esperimento è 2.

a. P(2)? b. P(N|2)?

P(Bianco) = 2/3 ; P(Nera) = 1/3

1. a. P(2) = P(2|B) * P(B) + P(2|N) * P(N) = (1/3 * 2/3) + (3/36 * 1/3) = 3/9 + 1/36 = 7/36
2. b. P(N|2) = P(N) * P(2|N)/P(2) = (1/3 * 3/36)/(7/36) = 1/7 = 3/7

Esercizio 4

Si consideri lo spazio di probabilità Omega = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} con P({i}) = 1/55, per ogni “i” appartenente a Omega.

• Stabilire se gli eventi A = {multipli di due} e B = {multipli di tre} sono indipendenti.
• Dato C = {minori di 6} calcolare P(A|C) e P(B|C).

a. A = {2,4,6,8,10}, B = {3,6,9}P(A) = (2/55 + 4/55 + 6/55 + 8/55 + 10/55) = 6/11P(B) = (3/55 + 6/55 + 9/55) = 3/11P(A∩B) = 6/55, P(C) = 3/55

1. P(A|C) = P(A∩C)/P(C) = 2/5
2. P(B|C) = P(B∩C)/P(C) = 1/5

Esercizio 2

Una scatola contiene due palline bianche e una pallina nera. Vengono effettuate due estrazioni con reimmissione e sia X il numero di palline bianche estratte.

• calcolare E(X) e V(X);
• calcolare P(X=1|X≤1).

a. I(x)? P(x=x)? b. E(X)? V(X)? c. P(X=1|X≤1)?

a.

I(X)= {0,1,2,3}

P(X=0)= ¹/₉; P(X=1)= ⁴/₉; P(X=2)= ¹/₉(²/₃)

b.

E(X) = 0*¹/₉ + 1*⁴/₉ + 2*⁴/₉= ⁸/₉; V(X) = 0²*