Esercizi di probabilità

ESERCIZIO

La compagnia di assicurazioni Liddl ha 1000 polizze di responsabilità civile auto in portafoglio nella regione di Crashland, tutte aventi la medesima durata temporale, sia X la V.A. che rappresenta il numero di sinistri occorsi a Crashland. Sapendo che la probabilità che si verifichi un sinistro è 0,01 e che X ha una distribuzione binomiale si calcoli:

1. P(X = 1)
2. P(X ≤ 2)
3. Approssimando la distribuzione Binomiale con quella di Poisson si calcoli:
   • P(X = 1)
   • P(20 < X ≤ 23)

1) P(X = 1) = 1000 C 1 * 0,01¹ * (1 - 0,01)⁹⁹⁹ = 1000 * 0,01 * (0,99)⁹⁹⁹ = 1000 * ¹/₁₀₀ = 4,36 * 10^-4 Probabilità che su 1000 polizze si verifichi un sinistro

2) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = ^{1000 C 0} * (0,01)⁰ * (1 - 0,01)¹⁰⁰⁰ + 4/4,36 * 10^-4 + ^{1000 C 2} * (0,01)² * (1 - 0,01)⁹⁹⁸ = 0,002679

3) P(1 < X + 1 < 10) = ^e-10/_1! = 0,004543

4) P(20 < X ≤ 23) = P(21) + P(22) = ^{e-10 * 2020}/_20! + ^{e-20 * 2222}/_22! = 0,003

ESERCIZIO

Un’impresa produce wafer per componenti Hardware di calcolatori elettronici e li predispone in lotti da 10 pezzi che poi immette alla rete di distribuzione. L’addetto al controllo della qualità opera seguendo il seguente criterio: seleziona 3 pezzi casualmente ad ogni lotto e dichiara il lotto difettoso, rimuovendolo dalla distribuzione se tra i 3 wafer ce n’è almeno uno difettoso.

Se il 70% dei lotti contiene 1 pezzo difettoso e il 30% ne contiene 4 si calcoli la proporzione dei lotti rimossi dalla distribuzione.

• 10 pezzi per ogni lotto
• selezionando a caso 3 pezzi ogni lotto eliminandolo difettoso se tra i 3 pezzi ce n'è uno difettoso
• percentuale difettosità dei lotti = 70% con 1 pezzo difettoso
• percentuale difettosità dei lotti = 30% con 4 pezzi difettosi

Vogliamo trovare quanti lotti vengono rimossi dalla distribuzione

DA RISOLVERE CON MODELLO DI PROBABILITÀ IPERGEOMETRICA (NON STUDIATA)

Esercizio

Un sintomo S è riconducibile a 3 malattie M₁, M₂, M₃, a due a due incompatibili.

Sapendo che la probabilità che un individuo abbia la patologia M_k è pari a ¹/_10^k k = 1, 2, 3

• Si calcoli la probabilità che abbia almeno una delle malattie

S̅ = {Ȟ ₁, Ȟ ₂, Ȟ ₃} P(Ȟ ₁) = ¹/₁₀ P(Ȟ ₂) = ¹/₁₀₀ P(Ȟ ₃) = ¹/₁₀₀₀

• Un individuo può contrarre una delle 3 malattie:

Ȟ ₁ U Ȟ ₂ U Ȟ ₃

Calcoliamo la probabilità per cui venga contratta una malattia

P(Ȟ ₁ U Ȟ ₂ U Ȟ ₃) = P(Ȟ ₁) + P(Ȟ ₂) + P(Ȟ ₃) = ¹/₁₀ + ¹/₁₀₀ + ¹/₁₀₀₀ = 0.111

• Dopo aver fornito la definizione di indipendenza di 3 eventi si stabilisca se M₁, M₂, M₃ sono indipendenti

Indipendenza dei 3 eventi: P(Ȟ ∩ Ȟ) = P(A)P(C)P(E) ∅

P(Ȟ ₁) P(Ȟ ₂) P(Ȟ ₂) = 10^-6

Poiché M₁, M₂, M₃ sono incompatibili a 2 a 2 gl eventi non sono indipendenti poiché il verificarsi di una determinata malattia M_k esclude immediatamente il verificarsi delle altre 2 azzerandone la probabilità.

Quindi:

P(Ȟ ₁ ∩ Ȟ ₂ ∩ Ȟ ₃ ) = 0 poiché M₁ ∩ M₂ ∩ M₃ = ∅

Quindi:

P(Ȟ ₁ ∩ Ȟ ₂ ∩ Ȟ ₃ ) ≠ P(Ȟ ₁) P(Ȟ ₂) P(Ȟ ₂)

0 != 10^-6

• Sapendo inoltre che la probabilità che il sintomo S si manifesti in un soggetto affetto dalla patologia M_k è pari a ^k/₄

• Si calcoli la probabilità di manifestazione del sintomo S

P(S | M_k) = k/4

• Th. delle probabilità totali

P(S) = P(S | Ȟ ₁) P(Ȟ ₂) + P(S | Ȟ ₂) P(Ȟ ₂) + P(S | Ȟ ₂) P(Ȟ ₃) = ¹/₄ * ¹/₁₀ + ²/₄ * ¹/₁₀₀ + ³/₄ * ¹/₁₀₀₀ = 0.03075