Esercizi corso fondamenti di automatica con soluzioni commentate

Equilibri del sistema

I punti di equilibrio per il sistema soddisfano le seguenti condizioni:

(0, A * x̄ + B * ū) = ȳ

(C * x̄ + D * ū) = 0

Si noti che lo stato di equilibrio è unico se la matrice è invertibile e può essere calcolato come:

x̄ = A⁻¹ * (B * ū)

Per valutare il numero di punti di equilibrio andiamo quindi a valutare se la matrice è invertibile, calcolandone il determinante.

Nota bene: se il determinante è non nullo allora la matrice è invertibile.

Per le caratteristiche del sistema in esame si ha che:

det(A) = 1 * 4 - 2 * 2 = 0

Quindi la matrice risulta invertibile, con inversa:

A⁻¹ = 1/5 * (4 -2)

A⁻¹ = 1/5 * 2 1

Nota bene: per calcolare l'inversa di una matrice 2x2, si scambiano di posizione gli elementi sulla diagonale e si cambia il segno degli elementi sulla contro-diagonale. La matrice risultante deve quindi essere divisa per il determinante della matrice stessa.

stato di equilibrio è quindi dato da:   1 2 2 1 31 3 .x̄ A Bū= = = 01 1 14

Di conseguenza, l'uscita di equilibrio è: 6.ȳ C x̄ D ū= + =|{z}|{z} 602.

Per valutare gli equilibri con la nuova matrice ripetiamo la stessa procedura seguitaAin precedenza.

In primo luogo valutiamo quindi se la matrice è invertibile, calcolandone ilAdeterminante. Dato che: det 1 2 2 1 0,A · ·( ) = ( ) =la matrice non è invertibile. Non possiamo quindi calcolare gli stati di equilibrio conla formula usata nel punto precedente. Invece, in questo caso, scriviamo le equazionidel sistema per esteso, ossia8> 2x ,ẋ t x t t u t( ) = ( ) + ( ) + ( )> 21 1< 2x ,ẋ t x t t u t( ) = ( ) + ( ) + ( )2 21>>: 2u ,y t x t t( ) = ( ) + ( )2e quindi annulliamo le derivate, ottendo il seguente sistema che dobbiamo risolvere:( 2 0,x̄ x̄ ū+ + =21 2 0,x̄ x̄ ū+ + =21per poi individuare l'uscita di equilibrio come2ȳ x̄ ū.= +2

Si noti che le due equazioni

nel solo stato sono uguali e quindi dobbiamo risolvere un sistema in due equazioni ed una sola incognita. Si ottiene quindi la seguente relazione tra le due componenti dello stato: <p>2 3.x̄ x̄= +21</p> Si hanno quindi infiniti punti di equilibrio al variare di ed hanno la forma: <p>x̄ 2 R2 3 2 x̄ 2 ,x̄ = x̄ 2</p> con l'uscita di equilibrio corrispondente pari a 6.ȳ x̄= 27 Esercitazione 1E 4: SERCIZIO Dato il sistema 8> sin ,ẋ t x t( ) = ( ( ))> 1 1< 2 3 (7), ẋ t x t x t u t( ) = ( ) ( ) + ( )2 21>>: 1 2sin .y t x t x t( ) = ( ( )) + ( )1 221. 1. Classificare il sistema. 2. Calcolare i punti di equilibrio per 0, 0. u t ū t8( ) = = SOLUZIONE 1. Viste le caratteristiche delle equazioni di stato ed uscita abbiamo che: (a) l'evoluzione dello stato è descritta da equazioni differenziali, quindi il sistema è dinamico. (b) Dato che lo stato ha 2 componenti, il sistema è di ordine 2. (c) Dato che si ha una sola equazione di uscita: <p>1 2sin x t x t( ( )) + ( )1 22</p> il sistema

(a) Il sistema ha una sola uscita, quindi è Single Output.

(b) Il sistema ha un solo ingresso, quindi è Single Input.

(c) Visto che i coefficienti delle equazioni di stato e di uscita non variano nel tempo, il sistema è tempo invariante.

(d) Date le non linearità nelle equazioni di stato e di uscita (si vedano le equazioni seno e le potenze dello stato), il sistema è non lineare.

(e) Dato che non c'è una dipendenza diretta tra gli ingressi e le uscite, il sistema è strettamente proprio.

2. Per calcolare i punti di equilibrio dobbiamo imporre la condizione: ˙x̄ = 0, di conseguenza, dobbiamo risolvere il sistema:

(sinθ̄) = (1)

(cosθ̄) = (2)

(3x̄^2) + (2x̄) + (30) = (0)

Dalla prima equazione si ottiene che la prima componente di equilibrio è data da: x̄ = kp, k = 8.

Di conseguenza, per individuare la seconda componente, dobbiamo risolvere: (3x̄^2) + (2x̄) = (21).

Ottendo in questo modo che x̄ = kp, k = 8.

Nota bene: il sistema ha infiniti punti di equilibrio. Questo è possibile dato che il sistema

Il sistema è non lineare.

Esercitazione 1E 5:

SERCIZIO

Calcolare il movimento dello stato e dell'uscita per il sistema

(2u, ẋ(t) = x(t) + 8ẋ(t)^2)

(2x, y(t) = x(t) + 8u(t))

per

1. u(t) = 7e^t, x(0) = 1, y(0) = 0.

2. u(t) = 2e^t, x(0) = 1, y(0) = 0.

3. u(t) = sin(t), x(0) = 0, y(0) = 0.

SOLUZIONE

Per calcolare il movimento dello stato e dell'uscita del sistema dobbiamo individuare il movimento libero e forzato degli stessi, con il movimento libero delo stato dato genericamente da x(t) = At^0, e quello forzato dato da Z(t) = A(t)x(t) + Bu(t), ed il movimento dell'uscita dato da y(t) = Cx(t) + Du(t).

Si noti che il sistema in esame è di ordine 1 e le matrici corrispondenti sono:

A = 1, B = 2, C = 2, D = 1.

1. Per la condizione iniziale considerata, la risposta libera del sistema è quindi:

x(t) = 7e^t.

Si noti che tale risposta tende ad esaurirsi nel tempo (ossia, tende a 0 per t → ∞).

La risposta forzata invece è:

Z(t) = ∫[0,t] (7e^τ)dτ = 7e^t - 7.

Zt t tt t t t+ t t t2e 2e 2e 2 2e ,x t dt e dt e( ) = = = =[ ]f 00 0•.e tende ad 2 perx t t! !( )fIl movimento complessivo dello stato é quindi dato da:
t t t7e 2 2e 2 5e .x t( ) = + = +
Nota bene: Per 1, si noti che lo stato di equilibrio é il puntoū = 2,x̄ =ossia il valore al quale tende la risposta del sistema.L’uscita del sistema é quindi data da:
t t4 10e 1 3 10e .y t( ) = + = +
2. Si noti che la nuova condizione iniziale corrisponde esattamente al punto di equilibrio,per il quale vale la relazione ˙ 0.x̄ =Partendo da questo punto ci si aspetta quindi di non muoversi.Con questo presupposto, si ha che la risposta libera del sistema é data da:
t2e ,x t( ) =
mentre, dato che l’ingresso ed il sistema non cambiano, la risposta forzata é ancoradata da:
t2 2e .x t( ) =f
La risposta completa del sistema é quindi data da:
t t2e 2 2e 2,x t( ) = + =
come ci aspettavamo inizialmente.L’uscita del sistema é quindi data da:
4 1 3.y t( ) = =11
Nota bene: I volri

di stato ed uscita corrispondo al limite al quale tendono lo stato el'uscita ottenuti al punto precedente. Infatti il sistema tende al punto di equilibrioma, in questo caso, partendo dall'equilibrio non abbandona mai tale condizione.

Nota bene: L'uscita di equilibrio corrisponde al prodotto tra l'ingresso di equilibrioȳ1 ed il del sistema. In questo caso quindi:ū guadagno statico= µ 3, 1 3.ȳ ū )= = =µ3. Dato che la condizione iniziale è nulla, senza fare calcoli si puó notare che la rispostalibera non contribuisce alla risposta del sistema. InfattiAt 0 0.x t e x( ) = ( ) =`

La risposta forzata è invece data da:Z Zt tt t+ t t2e sin 2e sinx t dt e dt.( ) = ( ) = ( )t tf 0 0L'integrale riportato si risolve integrando per parti. In particolare:2 3 tZ Zt t6 7t t tsin sin cose dt e e dt( ) = ( ) ( ) =t t t4 5|{z} |{z}| {z } | {z }0 0f0f ( )t( ) g gt ( ) ( )t t 0#f e t( ) =t Z ttt t tsin cos sine t e e dt= ( ) ( )] ( )[ t t|{z} 0 0di

nuovo per partiZ t t tt2 sin sin cos 1e dt e t e t) ( ) = ( ) ( ) +t0Z t tt sin cos 1e t e t( ) ( ) +t sin .e dt) ( ) =t 20Quindi: Z t tt sin cos 1e t e t( ( ) ( ) + )t tt2e sin 2ex t x t e dt( ) = ( ) = ( ) =tf 20 tsin cos ,x t t t e) ( ) = ( ) ( ) + 12e t t2x 2 sin 2 cos 2e sin sin 2e 2 cos .y t t u t t t t t t( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ( )13Esercitazione 1E 6:SERCIZIODato il sistema autonomo ( ,ẋ t Ax t( ) = ( ) (9),y t Cx t( ) = ( )con  1 1 ⇥ ⇤, , (10)A C 1 1= =1 1  2Calcolare il movimento libero dello stato e dell’uscita per lo stato iniziale 0 .x ( ) = 1S :OLUZIONEPer calcolare il movimento libero usiamo la formula:At 0 .x t e x( ) = ( )` AtDi conseguenza, é necessario calcolare l’esponenziale di matrice . A tal fine calcoliamoegli autovalori della matrice (con tale che 0) come segue:A det A( ) =l l lI✓  ◆ ✓ ◆0 1 1 1 1l l 21 1det A det det( ) = = = ( ) + =lI l0 1 1 1 1l l2 2l 2 0= + =l 1 j.) ±=l 1,2Si ha quindi una

i una matrice non diagonale: eAt = I + At + (At)^2/2! + (At)^3/3! + ... Applicando questa definizione al nostro caso, otteniamo: eAt = I + At + (At)^2/2! + (At)^3/3! + ... Dove I è la matrice identità e A è la matrice data: A = [1 1; w s] Calcoliamo quindi i primi termini della serie: At = [1 1; w s] (At)^2 = [1+w w+s; w+s w^2+s^2] (At)^3 = [1+2w+w^2+w^2+2ws+s^2 w+w^2+s^2+s^2+2ws; w+w^2+s^2+s^2+2ws w^2+2s^2+2ws+s^2] Sostituendo questi valori nella serie, otteniamo: eAt = I + At + (At)^2/2! + (At)^3/3! + ... eAt = [1 0; 0 1] + [1 1; w s] + [1+w w+s; w+s w^2+s^2]/2! + [1+2w+w^2+w^2+2ws+s^2 w+w^2+s^2+s^2+2ws; w+w^2+s^2+s^2+2ws w^2+2s^2+2ws+s^2]/3! + ... Semplificando i calcoli, otteniamo: eAt = [1+1+w+1+w+w^2/2+w^2/2+2ws/2+s^2/2 1+1+w+w^2/2+w^2/2+2ws/2+s^2/2; w+w^2/2+w^2/2+2ws/2+s^2/2+w^2/2+2s^2/2+2ws/2+s^2/2 w+w^2/2+w^2/2+2ws/2+s^2/2+2s^2/2+2ws/2+s^2/2] Semplificando ulteriormente, otteniamo: eAt = [1+w+w^2/2+ws+s^2/2 1+w+w^2/2+ws+s^2/2; w+w^2/2+ws+s^2/2 w+w^2/2+2s^2/2+2ws+s^2/2] Quindi, il secondo termine dell'espressione è: eAt = [1+w+w^2/2+ws+s^2/2 1+w+w^2/2+ws+s^2/2; w+w^2/2+ws+s^2/2 w+w^2/2+2s^2/2+2ws+s^2/2]