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ESERCIZI ANALISI 2

  • Equazioni Differenziali
  • Forme Differenziali
  • Funzioni in due variabili
  • Integrali doppi

1) f(x,y) = (x-1)2 ex2+y2

fx=2(x-1) ex2+y2 + (x-1)2 ex2+y2 (2x)

fy=(x-1)2 ex2+y2 2y

fx = 2(x-1) ex2+y2 + (x-1)2 ex2+y2 (2x) = 0

2(x-1) ex2+y2 + (x-1)2 ex2+y2 2x = 0

(x-1)2 ex2+y2 2y = 0

(x-1)2 = 0

x-1)=x(x+1) = 0

x=1

x=-1

{ x=1

∀y

{ x=-1

-4e4+4e4(-2) = 0

-4e4-8e4 = 0

-12e4=0 => ∀y

{ 4 = 0

2(x-1) ex2+(x-1)2 ex2 (2x) = 0

⇒ (2(x-1) ex2(

1+ (x-1) x) = 0

⇒ x-1 = 0 => x = 1

⇒ (1+ (x-1)x) = 0 => x+x2-x = 0

3) T = { (x, y, z) ∈ ℝ³ : 0 ≤ z ≤ x² + y² ; x ≤ y ; x ≤ 1 }

= ∫01 ∫0√(1-x²) ∫0x²+y² dz dy dx =

= ∫01 ∫0√(1-x²) [x² + y²]01 dy dx =

= ∫01 ∫0√(1-x²) dy [x²]01 dx = ∫01 dx [√(1-x²)]01 dy =

= ∫01 dx [1 - x²]01 = ∫01 dx [√(1-x²)] =

= [ x/2 (1-x²)3/2 ]01 = (2/3) [ (1-x²)3/2 ]01 =

= (2/3) (-1) = -2/3

2)

y' = -4y + x4

y(1) = 0

y' = -4y + x4

Δ(x) = -4 ∫ 1/x dx = -4logx

y(x) = e4logx ∫ e-4logx x4 dx + Ce4logx

= x4 ∫ x-5 dx + Cx4

= x4(-x-4) + Cx4

=> y(1) = 0 => -1 + C = 0 => C = 1

=> y(x) = -x-5 + x4

1) f(x,y) = x2y + x3⁄3 + 4x2x - x

fx = 2xy + x2 + 4x2 - 1

fy = x2 + 2xy

{ -2xy + x2 + 4x2 - 1 = 0

{ -x2 + 2xy = 0

⇒ x(-x+2y) = 0

{ x = 0

x - 2y = 0

x = 0

x - 2y = 0

⇒ x = 0

x = 24

{ x = 0

y2 - 1 = 0

y = ± 1

{ x - 2y = 0

y = ± 1

{ x = ± 2

y = ± 1

A(0,1) B(0,-1) C(2,-1) D(2,1)

E(2,1) F(2,-1)

fxx = -2 + 2x + 2y

fyy = 2x

fxy = -2x + 2y

= 3x2 + 3y2 + 3x2 + g’(x) = 6x2 + 3y2 + g(x)

- 3 6x2 + 3y2 + g’(x) = 6x2 + 3y2

g’(x) = 0

f(x, y) = 8x√(x2 + y2)

3) ω = x/1+(x2+y2)2 dx + y/1+(x2+y2)2 dy

dF2/dy = -[y(2(x2+y2)2y)/(1+(x2+y2)2)2] =

= -4xy(x2+y2)

dF2/dx = -[y(2(x2+y2)2x)/(1+(x2+y2)2)2] =

= -4xy(x2+y2)

ω è chiusa

Dominio:

1+(x2+y2)2 ≠ 0

(x2+y2)2 ≠ -1 ∀(x,y)

Dominio semplicemente connesso

Primitiva:

∫x/1+(x2+y2)2 dx =

1) f(x,y) = log(x+y) - x - y2

fx = — = -x-y/x+y

fy = — y/x+y

{ 1 - x - y = 0 y - 4x - y2 = 0

x = 1 - y y - 4(1 - y) - y2 = 0

x=0 y=1

A(0,1)

fxx = —[x+y] — [1-x-y]/(x+y)2

= -y/(x+y)2

fyy = —(x2+y2-2xy-2y2-1+xy+x+y2)/(x+y)2

= -x2/(x+y)2

1) f(x,y)=(y-ex)x y

fx=-exxu+(y-ex)y

fy=x y+(y-ex)x

  • exxu+(y-ex)y=0
  • x(y+uy-ex)=0 =>x(2y-ex)=0
  • (y-y)u-0
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cikenthebest
A.A. 2014-2015
47 pagine
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SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cikenthebest di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Napoli Federico II o del prof Nitsch Carlo.