Esercizi Analisi 2

Esercizi di Analisi 2 elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Nitsch, Università degli Studi di Napoli Federico II - Unina, Facoltà di Ingegneria. Scarica il file con le esercitazioni in formato PDF!

Esame Analisi II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Nitsch Carlo

Università Università degli studi di Napoli Federico II

Publisher cikenthebest

A.A. 2014-2015

47 pagine

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Esercitazione

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ESERCIZI ANALISI 2

Equazioni Differenziali
Forme Differenziali
Funzioni in due variabili
Integrali doppi

1) f(x,y) = (x-1)² e^x²+y²

f_x=2(x-1) e^x²+y² + (x-1)² e^x²+y² (2x)

f_y=(x-1)² e^x²+y² 2y

f_x = 2(x-1) e^x²+y² + (x-1)² e^x²+y² (2x) = 0

2(x-1) e^x²+y² + (x-1)² e^x²+y² 2x = 0

(x-1)² e^x²+y² 2y = 0

(x-1)² = 0

x-1)=x(x+1) = 0

x=1

x=-1

{ x=1

∀y

{ x=-1

-4e⁴+4e⁴(-2) = 0

-4e⁴-8e⁴ = 0

-12e⁴=0 => ∀y

{ 4 = 0

2(x-1) e^{x²+(x-1)² e^{x² (2x) = 0}}

⇒ (2(x-1) e^x²(

1+ (x-1) x) = 0

⇒ x-1 = 0 => x = 1

⇒ (1+ (x-1)x) = 0 => x+x²-x = 0

3) T = { (x, y, z) ∈ ℝ³ : 0 ≤ z ≤ x² + y² ; x ≤ y ; x ≤ 1 }

= ∫₀¹ ∫₀^√(1-x²) ∫₀^x²+y² dz dy dx =

= ∫₀¹ ∫₀^√(1-x²) [x² + y²]₀¹ dy dx =

= ∫₀¹ ∫₀^√(1-x²) dy [x²]₀¹ dx = ∫₀¹ dx [√(1-x²)]₀¹ dy =

= ∫₀¹ dx [1 - x²]₀¹ = ∫₀¹ dx [√(1-x²)] =

= [ x/2 (1-x²)^3/2 ]₀¹ = (2/3) [ (1-x²)^3/2 ]₀¹ =

= (2/3) (-1) = -2/3

y' = -4y + x⁴

y(1) = 0

y' = -4y + x⁴

Δ(x) = -4 ∫ 1/x dx = -4logx

y(x) = e^4logx ∫ e^-4logx x⁴ dx + Ce^4logx

= x⁴ ∫ x^-5 dx + Cx⁴

= x⁴(-x^-4) + Cx⁴

=> y(1) = 0 => -1 + C = 0 => C = 1

=> y(x) = -x^-5 + x⁴

1) f(x,y) = x²y + ^x³⁄₃ + 4x²x - x

f_x = 2xy + x² + 4x² - 1

f_y = x² + 2xy

{ -2xy + x² + 4x² - 1 = 0

{ -x² + 2xy = 0

⇒ x(-x+2y) = 0

{ x = 0

x - 2y = 0

x = 0

x - 2y = 0

⇒ x = 0

x = 24

{ x = 0

y² - 1 = 0

y = ± 1

{ x - 2y = 0

y = ± 1

{ x = ± 2

y = ± 1

A(0,1) B(0,-1) C(2,-1) D(2,1)

E(2,1) F(2,-1)

f_xx = -2 + 2x + 2y

f_yy = 2x

f_xy = -2x + 2y

= 3x² + 3y² + 3x² + g’(x) = 6x² + 3y² + g(x)

- 3 6x² + 3y² + g’(x) = 6x² + 3y²

g’(x) = 0

f(x, y) = 8x√(x² + y²)

3) ω = ^x/_{1+(x²+y²)²} dx + ^y/_{1+(x²+y²)²} dy

dF₂/dy = -[^{y(2(x²+y²)2y)}/_{(1+(x²+y²)²)²}] =

= -4xy(x²+y²)

dF₂/dx = -[^{y(2(x²+y²)2x)}/_{(1+(x²+y²)²)²}] =

= -4xy(x²+y²)

ω è chiusa

Dominio:

1+(x²+y²)² ≠ 0

(x²+y²)² ≠ -1 ∀(x,y)

Dominio semplicemente connesso

Primitiva:

∫^x/_{1+(x²+y²)²} dx =

1) f(x,y) = log(x+y) - x - y²

f_x = — = ^-x-y/_x+y

f_y = — ^y/_x+y

{ 1 - x - y = 0 y - 4x - y² = 0

x = 1 - y y - 4(1 - y) - y² = 0

x=0 y=1

A(0,1)

f_xx = —^{[x+y] — [1-x-y]}/_(x+y)²

= -^y/_(x+y)²

f_yy = —^{(x²+y²-2xy-2y²-1+xy+x+y²)}/_(x+y)²

= -^x²/_(x+y)²

1) f(x,y)=(y-e^x)x y

f_x=-e^xxu+(y-e^x)y

f_y=x y+(y-e^x)x

e^xxu+(y-e^x)y=0
x(y+uy-e^x)=0 =>x(2y-e^x)=0
(y-y)u-0

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