Esercitazioni microeconomia con soluzioni

ECONOMIA POLITICA

ESERCITAZIONI A.A. 2013-2014

Corso del prof. Currarini

Dott. Elia Pizzolitto

ESERCITAZIONE 4

Molinari 2.18

Teoria del consumatore – Scelta tra lavoro e tempo libero.

Si consideri una famiglia senza figli in cui entrambi i coniugi lavorano. La moglie ha un reddito settimanale

pari a 200, senza possibilità di scegliere il numero di ore lavorate. Il marito, invece, può scegliere quante ore

lavorare alla settimana sapendo che il suo salario orario è w=20. I coniugi mettono in comune i loro redditi

e decidono congiuntamente la spesa familiare di beni di consumo (C) ed il numero ottimale di ore di tempo

libero del marito (N). il prezzo dei beni di consumo è normalizzato a 1.

a) Scrivete il vincolo di bilancio di questa famiglia sapendo che il massimo numero di ore giornaliere

che il marito può lavorare è 14 e rappresentatelo graficamente.

Il vincolo di bilancio per questo tipo di modello, a livello generale, è il seguente:

Inserendo i dati forniti da questo esercizio otteniamo:

Riscritto in modo più elegante:

Ecco la rappresentazione grafica del vincolo:

b) Se il saggio marginale di sostituzione fra consumo e tempo libero è , calcolate il paniere ottimo di

consumo e tempo libero del marito scelto dalla famiglia. Rappresentate graficamente.

Dato che non abbiamo la funzione di utilità (anche se potremmo ricavarla facilmente), procediamo con il

calcolo della condizione di ottimo con il metodo “saggio marginale di sostituzione uguale al rapporto tra i

prezzi).

Quindi:

Ecco la condizione di ottimo:

Che mettiamo a sistema con il vincolo di bilancio:

Ed ecco la rappresentazione grafica del punto di ottimo con la curva di indifferenza:

c) Determinate la funzione di offerta di lavoro del marito.

Per calcolare la funzione di offerta di lavoro è necessario procedere al calcolo della funzione di domanda di

tempo libero:

Dopodiché la funzione di offerta di lavoro si calcolerà come:

Per calcolare la funzione di domanda individuale di tempo libero, procediamo come se stessimo calcolando

l’ottimo, ma nel vincolo di bilancio lasciamo w in termini generali:

Quindi:

Riscritto in modo più elegante:

Procediamo con il calcolo della condizione di ottimo:

Quindi:

Inserendola nel vincolo di bilancio:

Dobbiamo tenere solamente N alla sinistra di questa equazione:

Avendo ottenuto la domanda individuale di tempo libero, possiamo determinare la funzione di offerta di

lavoro:

La funzione di offerta di lavoro è una funzione che mette in relazione l’offerta di lavoro dell’individuo per

ogni determinato livello di reddito.

Esiste una regola generale osservata empiricamente per l’offerta di lavoro:

- è crescente per redditi bassi (quindi quando il reddito è basso, a fronte di incentivi salariali il

lavoratore aumenta il numero di ore lavorate);

- è decrescente per redditi già alti.

Quindi, la domanda che ci potremmo porre è: questo consumatore ha un reddito alto oppure basso?

Studiamo la derivata prima della funzione di offerta di lavoro:

Quindi, man mano che aumenta w l’offerta di lavoro aumenta. Il consumatore probabilmente ha un reddito

basso.

d) Supponete che la famiglia si arricchisca di un figlio e che la moglie decida di non lavorare più,

perdendo quindi il suo reddito e percependo solo un’indennità di 20. Scrivete il nuovo vincolo di

bilancio e calcolate la nuova scelta ottima in termini di consumo e tempo libero del marito

(nell’ipotesi che il saggio marginale di sostituzione non sia cambiato). Calcolate la nuova offerta di

lavoro.

Ecco il nuovo vincolo di bilancio:

La condizione di ottimo non cambia:

Messa a sistema con il vincolo di bilancio:

Calcoliamo l’offerta di lavoro:

Calcoliamo ora la funzione di offerta di lavoro.

Prima di tutto vediamo il vincolo di bilancio in forma generale:

Riscritto in forma più elegante:

La condizione di ottimo è la seguente:

Dal sistema tra il vincolo e la condizione di ottimo otteniamo:

Prendendo in considerazione solo N:

Ed ora possiamo calcolare la funzione di offerta di lavoro:

Economia Politica – Appello del 10/09/2012

Esercizio 1 - Teoria del consumatore - Scelta tra lavoro e tempo libero

Le preferenze di un agente sono descritte da una funzione di utilità dipendente da consumo di un bene c ed

ore di tempo libero l. l’utilità marginale del tempo libero è pari a c. L’utilità marginale del consumo è pari a

l. la dotazione di tempo complessiva a disposizione dell’agente è di 24 ore, che possono essere dedicate o

al tempo libero o al lavoro.

a) Trovate le allocazioni ottimali di consumo, tempo libero e lavoro se il prezzo del bene p è pari a 1

ed il salario orario w è pari a 4.

Definiamo innanzitutto il vincolo di bilancio per questo lavoratore:

La condizione di ottimo è la seguente:

Quindi:

Messa a sistema con il vincolo di bilancio:

Offerta di lavoro:

b) Trovate le allocazioni ottimali di consumo, tempo libero e lavoro se il prezzo del bene p rimane pari

ad 1, il salario orario w è pari a 2 e l’agente può disporre di un reddito aggiuntivo Y pari a 10.

Ecco il nuovo vincolo di bilancio:

La condizione di ottimo diventa:

Dal sistema tra vincolo e condizione di ottimo otteniamo:

Offerta di lavoro:

c) Individuare una funzione di utilità adatta a descrivere le preferenze dell’agente.

Le possibili funzioni di utilità che restituiscono questo saggio marginale di sostituzione possono essere, ad

esempio:

Oppure:

Economia Politica – Appello 4 giugno 2007

Esercizio 1 – Teoria del consumatore - Scelta tra lavoro e tempo libero

Si derivi la funzione di offerta di lavoro di un consumatore che valuta tempo libero e consumo secondo la

funzione di utilità u(c,n)=cn. Se i prezzi al consumo sono pari a 1, ed il salario orario è pari a 3, si determini

inoltre l’effetto che un’eredità pari a 12 avrebbe sulla quantità di lavoro offerto.

Soluzione

Questo esercizio è diviso in due parti.

La prima, in cui viene richiesta la funzione di offerta di lavoro, senza dare altre specifiche.

La seconda in cui vengono chiariti i prezzi che devono essere utilizzati in questa funzione.

È quindi sbagliato calcolare la funzione di offerta di lavoro con prezzo uguale ad 1 e salario pari a 3, poiché

la richiesta è più generale.

Vediamo dunque il vincolo di bilancio espresso in forma generica:

Scritto in forma più elegante:

Laddove:

R: reddito aggiuntivo non da lavoro (affitto, rendita, ecc.)

w: salario orario per il lavoratore

T: tempo totale a disposizione del lavoratore

n: tempo libero per il lavoratore

p: prezzo del bene di consumo

c: quantità del bene consumata

R + wT: reddito possibile (se il consumatore lavorasse per tutto il tempo a sua disposizione)

wn: costo del tempo libero

pc: spesa per il bene di consumo

Per trovare la funzione di offerta di lavoro troviamo prima la funzione di domanda individuale di tempo

libero. Dobbiamo dunque massimizzare la funzione di utilità per il consumatore, soggetta al vincolo di

bilancio espresso in forma generale.

Ecco il sistema delle condizioni di primo ordine:

Dal rapporto tra le prime due otteniamo la condizione di ottimo:

Che messa a sistema con il vincolo di bilancio:

Quindi, la funzione di domanda individuale di tempo libero è:

La curva di offerta di lavoro si calcola così:

Quindi:

Ecco la curva di offerta di lavoro:

Quando R=12, p=1 e w=3, ed ipotizzando che T=16:

Ad esempio, se R non ci fossi (R=0), avremmo:

Quindi ci aspettiamo che all’aumentare del reddito aggiuntivo, l’offerta di lavoro diminuisca.

Per avere una risposta più precisa, dobbiamo derivare:

Essendo la derivata inferiore a zero, significa che esiste una relazione inversa tra reddito aggiuntivo e

quantità di lavoro offerto: come ci aspettavamo.

Eserciziario Molinari - Esercizio 4.8

Teoria del consumatore - Scelte intertemporali

Un consumatore vive solo 2 periodi. Nel primo egli riceve un reddito da lavoro di 2000 euro e nel secondo

smette di lavorare e riceve una pensione di 400 euro ed un trattamento di fine rapporto pari ad euro 650.

La sua funzione di utilità è:

Supponete che il tasso di interesse sia 5% e che i prezzi siano entrambi pari ad 1.

a) Scrivete il vincolo di bilancio del consumatore e rappresentatelo graficamente, indicando chi

amaramente la quantità massima acquistabile dei beni.

Il vincolo di bilancio per il consumatore può essere scritto in due modi.

In forma di valore futuro:

Oppure (dividendo tutto per (1+r)) in forma di valore attuale:

Prendendo come riferimento quello a valore futuro, se non altro perché è di più semplice utilizzo,

sostituiamo con i dati a nostra disposizione:

Scritto in forma più elegante:

Questo vincolo di bilancio è una funzione lineare decrescente, con queste intercette:

- quando il consumo nel primo periodo è zero, allora il consumo nel secondo periodo è pari a 3150;

- quando il consumo nel secondo periodo è zero, allora il consumo nel primo periodo è pari a 3000.

Definiamo graficamente la funzione:

b) Calcolate la scelta ottima del consumatore.

Per il calcolo utilizziamo la Lagrangiana.

Ecco le condizioni di primo ordine:

Dal rapporto tra le prime due equazioni otteniamo:

Dunque la condizione di ottimo è:

Messa a sistema con il vincolo di bilancio:

Dalla quale otteniamo il seguente ottimo:

Questo paniere ci dà la seguente utilità:

E sta sulla seguente curva di indifferenza:

c) La legge che ha introdotto in Italia i fondi pensione prevede che i lavoratori possano scegliere di

rinunciare al trattamento di fine rapporto e di versare il denaro che il datore di lavoro tratteneva a

tal fine in un fondo pensione il cui rendimento è determinato dal tasso di interesse di mercato.

Supponete che il lavoratore stia considerando l’opportunità di avvalersi di questa opzione e che la

somma trattenuta dal datore di lavoro fosse 600. Dite se, secondo voi, conviene avvalersi

dell’opzione e perché? La vostra risposta cambierebbe se il tasso di interesse di mercato diventasse

r=10%? Perché?

Se la trattenuta da versare eventualmente al fondo è di euro 600, nel periodo 2 avremo un reddito:

- con tasso di interesse iniziale (5%):

- con tasso di interesse finale (10%):

Dato che la condizione di ottimo non cambia, se fate i calcoli otterrete che l’utilità è pari:

- a 1550,47 nel primo caso;

- a 1833,57 nel secondo caso.

Ad ogni modo non serve fare i calcoli. Il reddito, rispetto alla situazione originale, è minore con un tasso di

interesse del 5% e maggiore con un tasso del