esercitazioni microeconomia con soluzioni

Come si calcola una curva di indifferenza?

Prendendo come riferimento la funzione di utilità del nostro esercizio, 4

è sufficiente fare finta che la variabile dipendente non sia U, ma y.

Quindi:

- per prima cosa calcoliamo la mappa delle curve di indifferenza, che rappresenta tutte le possibile

curve di indifferenza, per ogni dato livello di utilità:

- stabiliamo poi due o tre livelli di utilità al fine di poter definire due o tre esempi di singole curve di

utilità:

È facile constatare che queste sono curve di indifferenza che rispecchiamo perfettamente la teoria

microeconomica del consumatore, infatti sono convesse.

Prima di disegnare il tutto, effettuiamo il calcolo del punto di ottimo.

I metodi sono due.

Metodo di Lagrange

Costruiamo la funzione Lagrangiana:

Ed ottimizziano, mettendo a sistema le condizioni di primo ordina seguenti:

Da Cramer abbiamo imparato che le prime due equazioni possono essere divise l’una per l’altra: 5

Dalla quale otteniamo la condizione di ottimo seguente:

Questa condizione di ottimo va inserita nel vincolo di bilancio (vale a dire nella terza equazione delle nostre

condizioni di primo ordine):

Troviamo così il valore ottimo di x e di y:

Metodo del SMS

La condizione di ottimo di cui sopra può essere ottenuta anche eguagliando il saggio marginale di

sostituzione tra i due beni al rapporto tra i prezzi dei beni stessi:

Quindi:

Otteniamo esattamente la stessa cosa.

Il vantaggio dell’utilizzo del metodo di Lagrange è che può essere utilizzato per tutti i modelli della teoria

del consumatore, senza dover per forza ricordare più metodi di calcolo dell’ottimo, che diventano man

mano più complessi a seconda dei vincoli di bilancio utilizzati.

Passiamo ora alla rappresentazione grafica del vincolo di bilancio, delle curve di indifferenza e

dell’equilibrio per questo consumatore: 6

Ovviamente, la curva di indifferenza che tange il vincolo di bilancio è quella che conterrà il punto A, vale a

dire il nostro ottimo.

b) Scrivere il nuovo vincolo di bilancio e il nuovo paniere ottimo quando il prezzo dei tramezzini

raddoppia.

Se il prezzo dei tramezzini raddoppia il vincolo di bilancio diventa:

Calcoliamo il punto di ottimo:

Ed ottimizziamo, mettendo a sistema le condizioni di primo ordina seguenti:

Otteniamo la seguente nuova condizione di ottimo, dalla divisione delle prime due equazioni: 7

Inserendo questa condizione di ottimo nel vincolo di bilancio otteniamo il paniere ottimo:

c) Dato l’elevato consumo di prosecco in città, il sindaco decide di introdurre una norma che prevede

che ogni consumatore possa consumare al massimo 3 bicchieri di prosecco al giorno.

Rappresentate il vincolo di bilancio di Lilli dopo l’introduzione della norma (usando i prezzi iniziali) e

calcolate il nuovo paniere ottimo.

Il nuovo vincolo di bilancio di Lilli può essere scritto come segue:

E può essere rappresentato graficamente in questo modo:

Se non avessimo il limite di ci ritroveremmo nel punto di ottimo iniziale (6;4), ma purtroppo non

possiamo acquistare 4 unità di y: dobbiamo fermarci a 3.

Quindi il nuovo punto di ottimo sarà necessariamente:

Anche se non richiesto, può essere utile calcolare i livelli di utilità che il consumatore ottiene nei tre casi di

ottimo studiati.

È sufficiente sostituire i valori delle quantità di x e y nella funzione di utilità: 8

Come vediamo:

- dal confronto tra la prima e la seconda situazione, l’aumento del prezzo dei tramezzini ha ridotto

l’utilità del consumatore nel suo nuovo punto di ottimo rispetto a quello iniziale;

- dal confronto tra la prima e la terza situazione, il limite a 3 unità di prosecco ha contribuito a ridurre

l’utilità del consumatore. 9

Esercizio 2 – Molinari 2.12

Teoria del consumatore – Ottimo, sussidio e trasferimento

Considerate un’economia popolata da consumatori con funzione di utilità:

Dove x è il consumo di automobili e y è il consumo di vino. Il prezzo delle automobili è 200 e quello del vino

è 2 mentre il reddito di ogni consumatore è 1000.

a) Determinare il paniere ottimo di automobili e vino acquistato dai consumatori.

Di seguito le condizioni di primo ordine:

Dalla divisione della prima equazione per la seconda otteniamo:

Quindi la condizione di ottimo è:

Inserendo questa condizione all’interno del vincolo di bilancio otteniamo:

Quindi il livello ottimo di x è il seguente:

Il livello ottimo di y è il seguente: 10

b) Al fine di rilanciare l’industria automobilistica il governo decide di incentivare il consumo di

automobili introducendo un sussidio pari a 100 per ciascuna auto acquistata dai consumatori.

Determinate il nuovo consumo di automobili ed il costo per consumatore che l’erario deve

sostenere per il sussidio.

Il sussidio riduce di 100 euro il prezzo delle automobili, dunque dobbiamo ridefinire il calcolo del punto di

ottimo.

Di seguito le condizioni di primo ordine:

Ecco la condizione di ottimo che otteniamo:

Inserendola nel vincolo di bilancio:

Quindi il valore ottimo di x è:

Il valore ottimo di y è:

Dato che vengono acquistate 5 automobili, l’esborso dello stato per il sussidio è dato da:

c) Il governo intende valutare l’opportunità di effettuare, in alternativa al sussidio, un trasferimento a

favore dei consumatori. Questo ha l’effetto di aumentare il reddito di ciascun consumatore di un 11

importo t pari al costo per consumatore trovato al punto b). determinate il nuovo consumo di

automobili.

Questo intervento aumenta il reddito del consumatore da 1000 a 1500.

Quindi il nuovo vincolo di bilancio è dato da:

Ecco le condizioni di primo ordine:

Ecco la condizione di ottimo:

Che inserita nel vincolo di bilancio:

Quindi il nuovo consumo di automobili sarà dato da:

Ed il nuovo consumo di vino sarà:

d) Quale delle due misure si rileva più idonea a perseguire lo scopo di rilanciare l’industria

automobilistica? Perché? E quale è preferita dai consumatori? Perché?

La politica più efficace in termini di rilancio dell’industria automobilistica è la prima, dato che il numero di

auto comprate da ciascun consumatore è più alta.

Per quanto riguarda la politica preferita, è necessario calcolare l’utilità nei due casi.

Nel caso di sussidio: 12

Nel caso di trasferimento:

Quindi la politica preferita dai consumatori è quella del trasferimento. 13

Esercizio 3 – Molinari 2.7

Teoria del consumatore – Beni complementi

Mario consuma ogni tazza di tè (bene x) con un cucchiaino di zucchero (bene y) e qualunque altra

concentrazione di zucchero gli è sgradita.

I prezzi del tè e dello zucchero sono, rispettivamente, Px=3 e Py=1.

Mario ha un reddito di 120 euro.

a) Scrivete il vincolo di bilancio di Mario e rappresentatelo graficamente (indicando chiaramente le

intercette) insieme ad alcune curve di indifferenza. Calcolate il paniere ottimo di Mario ed

indicatelo in figura.

Dunque, ci servono:

- vincolo di bilancio ed intercette;

- 3 esempi di singole curve di indifferenza;

- calcolo del paniere ottimo.

Vincolo di bilancio: ecco la funzione che lo rappresenta.

Intercetta con l’asse del bene x (quando y=0).

Intercetta con l’asse del bene y (quando x=0).

Per quanto riguarda le curve di indifferenza, dobbiamo considerare la forma della funzione di utilità.

Questi beni sono perfetti complementi. La funzione di utilità generale per questi beni è la seguente:

Nella fattispecie, dato il rapporto 1 a 1 tra le tazze di tè e i cucchiaini di zucchero:

Questo tipo di funzione di utilità genera delle curve di indifferenza con la classica forma ad L: 14

Per il calcolo del punto ottimo dobbiamo mettere a sistema queste due equazioni:

Il che significa, a parole, “dato che le quantità devono essere uguali, allora x=y, ma dobbiamo tenere conto

del vincolo di bilancio di Mario”.

Risolvendo, otteniamo il paniere ottimo seguente:

Rappresentiamo il vincolo di bilancio ed il punto di ottimo: 15

b) supponete che Mario perda il lavoro e vada in cassa integrazione, percependo solo metà del suo

reddito di lavoro. Rappresentate nel grafico precedente la nuova situazione e determinate la nuova

scelta ottima.

Avremo un nuovo vincolo di bilancio:

Con le seguenti intercette:

Ed avremo un nuovo ottimo:

Rappresentiamo graficamente il risultato nel seguente grafico: 16

c) come cambierebbe la vostra risposta ad (a) se Mario volesse consumare ogni tazza di tè con due

cucchiaini di zucchero?

Per calcolare questo ottimo dovremmo mettere a sistema queste equazioni:

Otteniamo il seguente punto di ottimo: 17

Esercizio 4 – Molinari 2.8

Teoria del consumatore – Beni sostituti

Marco ama la lattuga (bene x) quanto il radicchio (bene y); egli è interessato solo alla quantità totale di

insalata che consuma. Supponete che egli spenda tutto il suo reddito di 600 euro per acquistare queste due

insalate e che il prezzo del radicchio sia .

a) Se il prezzo della lattuga è , rappresentate il vincolo di bilancio di Marco e alcune curve di

indifferenza. Qual è il paniere scelto da Marco?

Innanzitutto studiamo il modello dell’esercizio. Si tratta di beni perfetti sostituti, quindi la funzione di utilità

per questo consumatore, a livello generale sarà la seguente:

Nel caso specifico, dato che i beni soddisfano il consumatore esattamente nello stesso modo, allora la

funzione di utilità potrebbe essere rappresentata dalla seguente:

La mappa delle curve di indifferenza per questa funzione è la seguente:

a) Il vincolo di bilancio per questo consumatore è rappresentato dalla seguente equazione:

Le intercette sono le seguenti:

per abbiamo

per abbiamo

Prima di passare alla rappresentazione grafica, vediamo come il consumatore scelte il paniere ottimo.

Dato che abbiamo a che fare con beni perfetti sostituti, non possiamo utilizzare Lagrange per determinare

l’ottimo. Inoltre sappiamo che i beni perfetti sostituti rappresentano l’unica eccezione possibile all’assioma

della convessità, in quanto se per un consumatore due beni sono perfetti sostituti allora ne utilizzerà solo

uno.

Quindi dobbiamo provare i singoli due casi.

1° caso – Il consumatore acquista solo il bene x.

Il suo reddito totale è pari a 600 euro ed il prezzo del bene x è pari a 6. 18

Dunque per poter acquistare solo x, il consumatore deve limitarsi all’acquisto di 100 unità di prodotto.

Il paniere scelto, in questo caso, può essere rappresentato così:

E conferisce un’utilità di al consumatore