Esercitazione sulle Curve (Analisi 2)

Analisi della curva

Siccome la curva non è regolare – neppure a tratti – abbiamo che gli unici punti in cui la curva non è regolare sono i multipli di 2π.

Osserviamo che la curva cresce da 0 a π, poi decresce. Abbiamo r(t) = (t + sin(t), 1 - cos(t)), quindi il punto che corrisponde a π è il simmetrico del punto che corrisponde a 2π rispetto alla retta di equazione x = π: y diventa 2π - y.

Possiamo studiare più precisamente quello che succede nei punti in cui si annulla la derivata:

||r'(t)|| = √((1 - cos(t))^2 + sin(t)^2) = 2√(1 - cos(t)) = 2√(2 - 2cos(t)) = 4sin(t/2)

Osserviamo che abbiamo ||r'(t)|| = 0 se e solo se sin(t/2) = 0, quindi t = 0 o t = 2π.

● ✓ ●●2 t t t2 sin , 2 cos sin(1 cos t, sin t) t t2 2 2e (t) = = = sin , cos .1 t t 2 22 sin 2 sin2 2
Osserviamo che tale versore ha un limite per e e questi limiti+! !t 0 t (2π)sono i rispettivi versori direttori delle semi-tangenti nei punti di coordinate er(0)(e sono verticali). Osserviamo che in tali punti ci sarà una cuspide a semi-r(2π) 6tangenti verticali (dirette verso l’alto). (Se e quindit2π < t < 4π, sin 02e in il limite è l’opposto).
t t +e (t) = sin , cos (2π)1 2 2
Sostegno della curva (in nero la parte della cicloide che non fa parte della curva,in verde l’asse di simmetria):
2. y21 xπ 2π·3.14
c) con (elica – si possono fare varianti con2r(t) = (cos t, sin t, pt), p > 0, t [0, 2π] ptsostituita da una qualsiasi funzione monotona: , , , . . . ).
12 tt log t, et
La curva non è chiusa perché e È pure semplicer(0) = (1, 0, 0) r(2π) = (1, 0, 2pπ).perché se allora

(perché e quindi6 6 6 6t = t pt = pt p = 0) r(t ) = r(t ).1 2 1 2 1 2

Abbiamo e quindi perciò la curva è diR,0 08t 2 6r (t) = ( sin t, cos t, p) r (t) = 0classe e regolare.1C 33. 1412108z 6420 1 0 101x 1 y

Possiamo osservare che la curva è situata sul cilindro di equazione 2 2x + y = 1,cioè sul cilindro di base la circonferenza unitaria.

d) 8 82tx = e x = t<< t 22 2y = 2e y = 2tr : t [0, 1], r : t [0, 1].1 2: :z = t z = t 1La variabile va da e per essere chiusa deve succedere cher 0 1, r (0) = r (1).1 1 1Siccome e la curva non è chiusa.2 6r (0) = (1, 2, 0) r (1) = (e , 2e, 1) = r (0),1 1 1Vediamo che se , allora le terze componenti di e sono6t = t r (t ) r (t )1 2 1 1 1 2diverse per cui Perciò la curva è semplice (e non chiusa, come6r (t ) = r (t ).1 1 1 2lo abbiamo già visto). 4Abbiamo quindi la curva è di classe (risulta anche di0 2t t 1r (t) = (2e , 2e , 1) C1classe ).1CSiccome la curva è regolare.08t 2 6[0,

1. r(t) = (0,1)
2. La variabile va da 0 a 1 e per essere chiusa deve succedere che r(0) = r(1).
3. Siccome e la curva non è chiusa.
4. r(0) = (0, 2, 1) r(1) = (1, 2, 0) = r(0),
5. Vediamo che se t ≠ 0, allora le prime componenti di r(t) sono diverse per cui la curva è semplice (e non chiusa, come abbiamo già visto).
6. Abbiamo quindi la curva è di classe C2 (risulta anche di classe C1).
7. Siccome la curva è regolare.
8. [0, 1], r(t) = (1, 4t, 1)
9. Sostegno delle due curve, in blu, in rosso.
10. Determinare poi l'angolo che i sostegni delle due curve formano nel punto P (1, 2, 0).
11. Le curve raggiungono per t = 0 e t = 1.
12. I vettori tangenti alle curve in P sono rispettivamente v = r(0) = (2, 2, 1) e v = r(1) = (1, 4, 1).
13. L'angolo formato da v e v è l'angolo tale che v · v̂ = ||v|| · ||v̂|| · cos(θ).

v = cos ↵.1 2 1 2

Abbiamo ·v v = 111 25 kv k = 31 pkv k = 3 2211

per cui e quindi (esiste un altro angolo: ,11 11pcos ↵ = ↵ = arccos arccosp p9 2 9 29 2ma gli angoli nello spazio non sono orientati).

Esercizio 2.2. Studiare le proprietà della seguente curva in espressa come grafico diR 2stabilire se è chiusa, semplice, di classe , regolare, regolare a tratti.una funzione 1y = f (x): CRappresentare inoltre il suo sostegno nel piano e calcolarne la lunghezza.

2R{(x, 2 2= y) : y = log x, x [1, 2]}

Una curva grafico di una funzione è molto semplice da rappresentare sotto formaparametrica: ⇢ x = x 2: x [1, 2]y = log xo, se vogliamo usare il più classico parametro t,⇢ x = t 2: t [1, 2],y = log tcioè Difficilmente tale curva può essere chiusa (tranne se l’intervallo dir(t) = (t, log t).definizione ha un unico punto), ed è per forza semplice. Abbiamo per cui10r (t) = 1, tla curva è di classe ed è

Il sostegno, dove è rappresentato in nero la parte della curva che non ci interessa, è:

y = log x

Per calcolare la lunghezza della curva, possiamo usare la formula:

L(kr) = ∫√(1+(dy/dt)²) dt

Facciamo il cambio di variabile quindi:

u = t + 1 = √(2t + 1)

∫(1+(dy/dt)²) dt = ∫(1+(dy/du)²) du = ∫(1+(2(u-1)/(2(u+1)))²) du

∫(1+(2(u-1)/(2(u+1)))²) du = ∫(1+(u-1)²/(u+1)²) du

∫(1+(u-1)²/(u+1)²) du = ∫(1+(u²-2u+1)/(u²+2u+1)) du

∫(1+(u²-2u+1)/(u²+2u+1)) du = ∫(1+(u²-2u+1)/(u+1)²) du

∫(1+(u²-2u+1)/(u+1)²) du = ∫(1+(u-1)²/(u+1)²) du

∫(1+(u-1)²/(u+1)²) du = ∫(1+(u-1)/(u+1))² du

∫(1+(u-1)/(u+1))² du = ∫(1+(u-1)/(u+1))² du

Esercizio 2.3. Studiare le proprietà delle seguenti curve in espresse in forma polare:

R = 2

Stabilire per ognuna di esse se è chiusa, semplice, di classe , regolare, regolare a tratti.

Rappresentare inoltre, se possibile, il loro sostegno nel piano.

a) r = e^(θ)

funzione monotona: θ, θ, ...

b) r = 1 + cos(θ)

funzione monotona: θ, θ, ...

c) r = log(θ)

funzione monotona: θ, θ, ...

La curva è definita come r(t) = ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t) sin t). r(0) = (2, 0) e la funzione è periodica di periodo 2π. Cerchiamo ora se r(2π) = (2, 0) è semplice. Siccome nei casi in cui la coordinata del punto è 0, per avere r'(t) ≠ 0, t deve essere diverso da t + 2kπ. Quindi t = 0 e t = 2π/2 sono i punti in cui r(t) = (2, 0). Perciò la curva è semplice.

Abbiamo r(t) = (sin t + 2 sin t cos t, cos t + cos t sin t) = (sin t sin 2t, cos t + cos 2t sin t). La curva è di classe C0.

Vale |r'(t)| = sin t + 2 sin t sin 2t + sin (2t) + cos t + 2 cos t cos 2t + cos (2t) = 2 + 4 sin t cos t + 2 cos t(cos t sin t) = 2 + 2 cos t(cos t + sin t) = 2 + 2 cos t = 2(1 + cos t), per cui r'(t) = 0 se e solo se cos t = -1/2, cioè se e solo se t = π/2.

La curva non è regolare – neppure a tratti, ma l'unico punto in cui r'(t) = 0 è t = π/2.

non è regolare è ⇡. Possiamo studiare più precisamente la curva. Abbiamo per esempio ⇢(2⇡ ✓) = 1 cos(2⇡ ✓) = 1 cos(✓) = ⇢(✓) per cui la curva è simmetrica rispetto all'asse x. Abbiamo 0x (t) = sin t sin 2t = sin t 2 sin t cos t = sin t(1 + 2 cos t) per cui la derivata di si annulla (cambiando segno) quando o .1x sin t = 0 cos t = 2 In tali casi abbiamo r(0) = (2, 0) !p✓ ◆2⇡ 1 3r = ,3 4 4r(⇡) = (0, 0) !p✓ ◆4⇡ 1 3r = , .3 4 48 Abbiamo 0 2y (t) = cos t + cos 2t = 2 cos t + cos t 1 = (2 cos t 1)(cos t + 1) per cui la derivata di si annulla (cambiando segno) quando (quando12y cos t =la derivata si annulla senza cambiare segno, per cui non è un estremocos t = 1locale delle In tali casi abbiamoy). !p⇣ ⌘⇡ 3 3 3r = ,3 4 4 !p✓ ◆5⇡ 3 3 3r = , .3 4 4Per concludere possiamo studiare quello che succede nell'origine ma di fatto losappiamo già: c'è un massimo locale delle e la è strettamente

d