Esercitazione su: Limiti e Continuità di funzioni in più variabili (Analisi 2)

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 4

Analisi Matematica II

Funzioni reali di più variabili: limiti e continuità

Alcune considerazioni generali. Se lim f (x, y) = `,

(x,y)!(a,b)

allora, per qualsiasi curva semplice e continua tale che

(x(t), y(t)) (x(0), y(0)) = (a, b),

vale lim f (x(t), y(t)) = `.

t!0

Conviene provare con delle curve facili e vedere qual è il limite possibile (o se non c’è

tale limite). In particolare, nel caso conviene provare

(a, b) = (0, 0)

lim f (x, 0)

x!0

lim f (0, y)

y!0 ±x)

lim f (x,

x!0 ±2x)

lim f (x,

x!0

ecc. . .

Per dimostrare un limite, può essere utile la seguente osservazione:

() |f

lim f (x, y) = ` lim (x, y) `| = 0

(x,y)!(a,b) (x,y)!(a,b)

e in particolare, se ` = 0, () |f

lim f (x, y) = 0 lim (x, y)| = 0.

(x,y)!(a,b) (x,y)!(a,b)

Nel caso di un limite di frazione del tipo a b

x y

lim ,

c d

x + y

(x,y)!(0,0)

> >

(con e almeno uno diverso da e con e l’unico limite possibile è

a 0, b 0 0 c d > 0)

(si vede facendo o Se il denominatore si può annullare (cioè o dispari),

0 x y = 0). c d

allora il limite non esiste (non è un teorema, ma si può trovare una curva per la quale il

limite non è se il denominatore non si può annullare, di fatto (ma non è un teorema,

0);

quindi bisogna fare la dimostrazione) esiste se e solo se, ponendo , allora il

c/d

y = x

1

limite è Funziona così anche se il denominatore è della forma (è di questa

c d

|x| |y|

0. +

forma, seppur implicitamente, quando e sono pari). Per dimostrare che il limite è

c d 0,

conviene usare il seguente metodo: b

a

c d

a b a b |y|

(|x| )

|x| |y| d

x y c

= =

c d c d c d

|x| |y| |x| |y| |x| |y|

+ + +

a b

c d c d

|x| |y| |x| |y|

+ +

c d a b

+ 1

6 c d

|x| |y|

= + .

c d

c d

|x| |y|

+

> >

Quindi se allora il limite è Nel caso contrario

ac b

c 0, d 0, c + d > 0, + 1 > 0, 0.

d

facendo si riesce a verificare che il limite non esiste.

d c

|y| |x|

= Stabilire quali dei seguenti limiti esistono e, nel caso affermativo, calco-

Esercizio 4.1.

larli. sin(x y)

a) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

1 1 cos(x + y)

(x,y)!(0,0) xy

b) dove p

lim f (x, y) f (x, y) =

2 2 xy + 1 1

(x,y)!(0,0) ✓ ◆

1

c) dove 2 2

lim f (x, y) f (x, y) = (x + y ) cos

3 3 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 3 3

x + y

d) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

4 4 2 4

x y

(x,y)!(0,0) xy

e) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

5 5 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 2 2

x y

f) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

6 6 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 3 3

x + y

g) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

7 7 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 2

x y

h) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

8 8 4 2

x + y

(x,y)!(0,0) 2 2

x + 2y

i) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

9 9 2 2 3/2

(x + y )

(x,y)!(0,0) 2 3

x y

j) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

10 10 4 6

x + y

(x,y)!(0,0) 5 5

x y

k) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

11 11 4 6 2

(x + y )

(x,y)!(0,0) 2

2 2

x y

l) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

12 12 3 4

x + y

(x,y)!(0,0) xy

m) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

13 13 2 4

x + y

(x,y)!(0,0) 2 3

x y y

n) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

14 14 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 3 2

x y

o) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

15 15 5 2

x + y

(x,y)!(0,0) y

p) dove p

lim f (x, y) f (x, y) =

16 16 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 2

2x xy

q) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

17 17 2 2

4x y

(x,y)!(0,0) 2

y

r) dove 2

lim f (x, y) f (x, y) = xe x

18 18

(x,y)!(0,0) 2

y

s) dove x

lim f (x, y) f (x, y) = xe

19 19

(x,y)!(0,0) x + y

t) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

20 20 x y

(x,y)!(0,0) x y

u) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

21 21 x + y

(x,y)!(0,0) 2

2x y

v) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

22 22 2 4

x + y

(x,y)!(0,0) x

w) dove p

lim f (x, y) f (x, y) =

23 23 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) x y

x) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

24 24 |x| |y|

+

(x,y)!(0,0) 2

x y

y) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

25 25 3 2

|x| + y

(x,y)!(0,0) x y

z) dove p

lim f (x, y) f (x, y) =

26 26 |x| |y|

+

(x,y)!(0,0) 3

Stabilire quali dei seguenti limiti esistono e, nel caso affermativo, calco-

Esercizio 4.2.

larli. 1

a) dove p

lim g (x, y) g (x, y) =

1 1 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 1

b) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

2 2 2 4

x + y

(x,y)!(0,0) 1

c) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

3 3 2 3

x + y

(x,y)!(0,0) 3 3

sin(x + y )

d) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

4 4 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 2

sin(x y)

e) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

5 5 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) sin(xy)

f) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

6 6 4 2

x + y

(x,y)!(0,0) sin(xy)

g) dove

lim g (x, y) g (x, y) = y

7 7 4 2

x + y

(x,y)!(0,0) 2 3

|y|

log(1 + x ) sin(1/y)

h) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

8 8 4 3

|y|

x +

(x,y)!(0,0) 2

(x 1) y

i) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

9 9 2 2

(x 1) + y

(x,y)!(1,0) 2

y log x

j) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

10 10 2 2

(x 1) + y

(x,y)!(1,0)

k) dove 2 4

lim g (x, y) g (x, y) = 3x + 2y

11 11

k(x,y)k!+1

l) dove 2 4

lim g (x, y) g (x, y) = 3x 2y

12 12

k(x,y)k!+1 xy

m) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

13 13 2 2

1 + x + y

k(x,y)k!+1 xy

n) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

14 14 4 4

1 + x + y

k(x,y)k!+1

o) dove 2 2 4

lim g (x, y) g (x, y) = (x + y 1) log(2 + x )

15 15

k(x,y)k!+1

p) dove 4 2

lim g (x, y) g (x, y) = (1 + x ) log(2 + y )

16 16

k(x,y)k!+1 4

q) dove 2 2 2 2

lim g (x, y) g (x, y) = (x + y ) cos(x + y )

17 17

k(x,y)k!+1 1

r) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

18 18 2

x

k(x,y)k!+1 ( x se 6

e y = 0

y

s) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

19 19 se

1 y = 0

(x,y)!(0,0) ( 2

x se 6

e y = 0

y

t) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

20 20 se

(x,y)!(0,0) 1 y = 0

x sin(xy)

u) dove

lim g (x, y) g (x, y) =

21 21 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) ↵

|y| sin x

v) dove

lim g (x, y) g (x, y) = , ↵ > 0

22 22 2 2

x + y

(x,y)!(0,0) 1

|x| 4

w) dove R

2 2 2

lim g (x, y) g (x, y) = log(1 + x + y ), ↵

23 23 2 2 ↵

(x + y )

(x,y)!(0,0) ( 2 2

log(1+x y ) se 6

x = 0

x) dove 2

x

lim g (x, y) g (x, y) =

24 24 se

2

y x = 0

(x,y)!(0,0)

y) dove 2

lim g (x, y) g (x, y) = log(1 + y ) arctan (x 1)y

25 25

k(x,y)k!+1 Stabilire se le seguenti funzioni sono continue.

Esercizio 4.3. 8 y sin(xy)

< se 6

(x, y) = (0, 0)

a) 2 3

|y|

x +

f (x, y) = : se

0 (x, y) = (0, 0).

8 log(1 + xy)

< se 6

(x, y) = (0, 0)

b) 4 2

x + y

g(x, y) = : se

0 (x, y) = (0, 0).

8 2 2

x y

< se 6

(x, y) = (0, 0)

c) 3 4

|x| + y

h(x, y) = : se

0 (x, y) = (0, 0).

8 2

y

>

< se

p 6

(x, y) = (0, 0)

d) 4 4

i(x, y) = x + y

>

: se

0 (x, y) = (0, 0).

5

8 xy se

< p 6

(x, y) = (0, 0)

e) 2 2

x + y

j(x, y) = : se

0 (x, y) = (0, 0).

8 2 6

x y

< se 6

(x, y) = (0, 0)

f) 2 4 2

(x + 3y )

k(x, y) = : se

0 (x, y) = (0, 0).

8 2

y log x

< se e 6

x > 0 (x, y) = (1, 0)

g) 2 2

(x 1) + y

l(x, y) = : se

0 (x, y) = (1, 0).

6

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 4

Analisi Matematica II

Funzioni reali di più variabili: limiti e continuità

Alcune considerazioni generali. Se lim f (x, y) = `,

(x,y)!(a,b)

allora, per qualsiasi curva semplice e continua tale che

(x(t), y(t)) (x(0), y(0)) = (a, b),

vale lim f (x(t), y(t)) = `.

t!0

Conviene provare con delle curve facili e vedere qual è il limite possibile (o se non c’è

tale limite). In particolare, nel caso conviene provare

(a, b) = (0, 0)

lim f (x, 0)

x!0

lim f (0, y)

y!0 ±x)

lim f (x,

x!0 ±2x)

lim f (x,

x!0

ecc. . .

Per dimostrare un limite, può essere utile la seguente osservazione:

() |f

lim f (x, y) = ` lim (x, y) `| = 0

(x,y)!(a,b) (x,y)!(a,b)

e in particolare, se ` = 0, () |f

lim f (x, y) = 0 lim (x, y)| = 0.

(x,y)!(a,b) (x,y)!(a,b)

Nel caso di un limite di frazione del tipo a b

x y

lim ,

c d

x + y

(x,y)!(0,0)

> >

(con e almeno uno diverso da e con e l’unico limite possibile è

a 0, b 0 0 c d > 0)

(si vede facendo o Se il denominatore si può annullare (cioè o dispari),

0 x y = 0). c d

allora il limite non esiste (non è un teorema, ma si può trovare una curva per la quale il

limite non è se il denominatore non si può annullare, di fatto (ma non è un teorema,

0);

quindi bisogna fare la dimostrazione) esiste se e solo se, ponendo , allora il

c/d

y = x

1

limite è Funziona così anche se il denominatore è della forma (è di questa

c d

|x| |y|

0. +

forma, seppur implicitamente, quando e sono pari). Per dimostrare che il limite è

c d 0,

conviene usare il seguente metodo: b

a

c d

a b a b |y|

(|x| )

|x| |y| d

x y c

= =

c d c d c d

|x| |y| |x| |y| |x| |y|

+ + +

a b

c d c d

|x| |y| |x| |y|

+ +

c d a b

+ 1

6 c d

|x| |y|

= + .

c d

c d

|x| |y|

+

> >

Quindi se allora il limite è Nel caso contrario

ac b

c 0, d 0, c + d > 0, + 1 > 0, 0.

d

facendo si riesce a verificare che il limite non esiste.

d c

|y| |x|

=

Esercizio 4.1. Stabilire quali dei seguenti limiti esistono e, nel caso affermativo, calcolarli.

sin(x y)

a) dove

lim f (x, y) f (x, y) =

1 1 cos(x + y)

(x,y)!(0,0)

Abbiamo e

lim sin(x y) = sin(0 0) = 0 lim cos(x + y) = cos(0 + 0) = 1

(x,y)!(0,0) (x,y)!(0,0)

per cui 0

lim f (x, y) = = 0.

1 1

(x,y)!(0,0)

xy

b) dove p

lim f (x, y) f (x, y) =

2 2 xy + 1 1

(x,y)!(0,0)

Il numeratore e il denominatore tendono entrambi a per cui c’è un’indetermi-

0

nazione. È complicato usare gli asintotici con le funzioni di più variabili, ma si

possono sfruttare o per avere un’idea o per dimostrare che il limite non esiste. In

p

questo caso, l’asintotico per ci indica che il limite dovrebbe

t

⇠ !

t + 1 1 t 0

2

essere Per fare la dimostrazione, razionalizziamo il denominatore:

2. p

xy xy( xy + 1 + 1)

p

f (x, y) = =

2 xy