Esercitazione statistica con soluzioni

Y

La moda di è “Basso”. N

La mediana è quel valore che divide in due parti uguali la distribuzione. Per pari la

N/2 N/2 + 1

mediana corrisponde alla media dei valori delle unità nella posizione e nella serie

ordinata. Nell’esercizio i dati sono già ordinati in modo crescente dunque la mediana è data

150/2 = 75 150/2 + 1 = 76.

dalla media dei valori delle unità in posizione e Per individuare

X

quanto vale la nella posizione 75 e 76 della distribuzione è utile ricorrere alle frequenze

cumulate: X n F

i i

50 50

0 40 90

1 35 125

2 25 150

3 150

Tot –

Le unità in posizione 75 e 76 hanno entrambe valore 1, infatti dalla frequenze cumulate si

X

vede che le unità dal 51-esima alla 90-esima hanno valore della pari a 1. Dunque la mediana

X

di è 1. Ciò significa che il 50% delle famiglie del nostro collettivo hanno un numero di figli

minore o uguale a 1, mentre l’altro 50% ha 1 o più figli.

L’80-esimo percentile è il valore che lascia a sinistra l’80% della distribuzione e a sinistra

X

il 20%. In una serie con 100 osservazioni l’80-esimo percentile sarebbe il valore di per l’80-

esima osservazione nella serie ordinata. Nel caso in esame poiché le osservazioni sono 150 la

→

80 : 100 = p : 150 p =

posizione dell’80-esimo percentile si ottiene per proporzione: 80 80

·

150 80/100 = 120. Il valore dell’unità nella posizione 120 sarà l’80-esimo percentile. Dalle

X

frequenze cumulate si vede che l’unità nella posizione 120 ha valore della pari a 2. Quindi

X

l’80-esimo percentile di è 2.

Matricola Cognome Nome

Esercizio 3 (Punti 6)

Su 4 moto sportive si sono rilevati i caratteri “Cilindrata” (espressa in cc) e “Potenza” (espressa

in Cv): Cilindrata 600 600 750 1000

Potenza 120 125 135 170

considerando che la Potenza (variabile dipendente) è funzione lineare della Cilindrata (va-

riabile indipendente) determinare a) i coefficienti della retta di regressione e b) l’indice di

determinazione lineare.

Soluzione es. 3 Y = a + bX + e

L’esercizio richiede di calcolare i parametri della retta di regressione del tipo i i i

X Y

dove è la Cilindrata e è la potenza: 2 2

− − − − − −

X Y X X̄ Y Ȳ (X X̄)(Y Ȳ ) (X X̄) (Y Ȳ )

i i i i i i i i

−137,5 −17,5

600 120 2406,25 18 906,25 306,25

−137,5 −12,5

600 125 1718,75 18 906,25 156,25

−2,5 −31,25

750 135 12,5 156,25 6,25

1000 170 262,5 32,5 8531,25 68 906,25 1056,25

2950 550 0,0 0,0 12 625,00 106 875,00 1525,00

Dunque: σ 12 625/4

XY

b = = = 0,1181

2

σ 106 875/4

X

− − ·

a = Ȳ bX̄ = 550/4 0,1181 2950/4 = 50,38

2

R

L’indice di determinazione lineare, , è pari al coefficiente di correlazione lineare al quadrato,

2 2

r = R :

XY 2

2

2 (12 625/4)

σ σ

XY

2 2 XY = = 0,978

R = (r ) = =

XY 2 2 ·

σ σ σ σ 106 875/4 1525/4

X Y X Y

Matricola Cognome Nome

Esercizio 4 (Punti 7)

E’ noto che la durata delle pile per orologio prodotte dalla “Llecarud” si distribuisce secondo

2

una Normale con media 500 giorni e varianza 10 giorni . Determinare:

a. La probabilità che una pila duri più di 510 giorni

b. Il primo quartile della durata delle pile

c. La probabilità che la durata media di un campione casuale di 50 pile sia compresa tra

499 e 501 giorni

Soluzione es. 4 2

∼

X X N (µ = 500, σ = 10).

Posto variabile casuale durata delle pile, risulta

X−µ 510−500

≥ ≥ − −

≥ = P (Z 3,16) = 1 Φ(3,16) = 1 0,999 21 =

P (X 510) = P

a. √

σ 10

0,000 79

b. Innanzitutto si calcola il primo quartile della Normale standard e poi destandardizzando

≤

P (Z Q ) = Φ(Q ) = 0,25

si ottiene il primo quartile della Normale oggetto di studio. 1 1

Q

essendo il primo quartile della Normale standard. Sulle tavole tuttavia non è presente

1 0,25, z Φ(z)

il valore per un area pari a quindi cercherò il valore tale che sia pari a 1-0,25

0,75 Q z = 0,67 Φ(0,67) = 0,75.

= e per simmetria troverò . Dalle tavole per si ha che

1

− −0,67.

Φ(−0,67) = 1 0,75 = 0,25. Q =

Per simmetria Quindi 1 √

−µ

Q 1,X ·

Q = µ + Q σ = 500−0,67 10 = 497,88,

Q = si deduce che dove

Essendo 1,X 1

1 σ

Q X Q

è il primo quartile della variabile casuale e è, come già detto, il primo quartile

1,X 1

della variabile casuale Normale standard.

∼ ∼

X N (500, 10) X̄ N (500, 10/50),

c. Dato che risulta che poiché il campione casuale

499−500

√

≤ ≤ ≤

n, P (499 X̄ 501) = P

ha dimensione, pari a 50. Si deve calcolare la 10/50

X̄−µ 501−500

√ √

≤ ≤ ≤ − − −

= P (−2,24 Z 2,24) = Φ(2,24) Φ(−2,24) = Φ(2,24) [1

2

σ /n 10/50 − · −

Φ(2,24)] = 2Φ(2,24) 1 = 2 0,9875 1 = 0,975

Matricola Cognome Nome

Esercizio 5 (Punti 7). Esercizio filtro obbligatorio

Recentemente è stato condotto uno studio sui consumi di carburante, affidando

ad un campione casuale di autisti con la stessa esperienza la guida di 24 autocarri

(campione piccolo), di uno stesso modello, sulla stessa autostrada. Avendo otte-

18,68

nuto, nei 24 carri considerati, un consumo medio di miglia percorse con un

1,695 26

gallone di carburante e uno scarto quadratico medio corretto di (media e

sqm sono dati campionari), stimare, ad un livello di fiducia del 90%, il consumo

medio per gli autocarri di quel modello. Quale assunzione è necessario fare per

poter fare inferenza?

Soluzione es. 5

X

Posto variabile casuale consumo di carburante (di un dato modello di autocarro) e ipotizzato

∼

X N

che , risulta che −

X̄ µ

√ ∼ t ,

n−1

s/ n µ

da cui si ottiene un intervallo di confidenza per

−

X̄ µ

√

− ≤ ∼ ≤ −

P t t t = 1 α

n−1

α/2;n−1 α/2;n−1

s/ n !

s s

√ √

− ≤ ≤ −

X̄ t

P µ X̄ + t =1 α

α/2;n−1 α/2;n−1

n n

x̄ = 18,68, s = 1,695 26 t = 1,7139 α = 0,1.

Nel caso in esame e, dalle tavole, dato

0,05;23

L’intervallo di confidenza richiesto è !

1,695 26 1,695 26

√ √

− ≤ ≤

P 18,68 1,7139 µ 18,68 + 1,7139 = 0,9

24 24

≤ ≤

P (18,1 µ 19,3) = 0.9

L’assunzione necessaria è, come specificato all’inizio della soluzione, che il consumo di carbu-

rante sia distribuito secondo una Normale.