Esercitazione Statistica

ESERCITAZIONE 11

esercizio 2 (esame 31/8/2018)

n = 90

X₁, ..., X_n iid Bernoulli(p)

P̂ = (1/m) ∑_i=1^m X_i => valore osservato

P̂ = 10/90 = 0.111

H₀: p = 0.1

H₁: p ≠ 0.1 (test a due code)

Statistico test

Z = (P̂ - 0.1) / √(0.1(1-0.1)/90) →_d N(0,1) sotto H₀

per il teorema del limite centrale

Il valore osservato di Z è z = 0.33

α = 0.05

R = {z : |z| > z_1-α/2}

Z_97,5% = 1.96

Z_0.025 = -1.96

=> non rifiuto H₀ a livello α = 5%

esercizio 4

X₁ ∼ N(μ₁, 8²)

• m₁ = 10
• x̄₁ = 121 (stima di μ₁)

X₂ ∼ N(μ₂, 8²)

• m₂ = 20
• x̄₂ = 112 (stima di μ₂)

H₀: μ₁ - μ₂ = 0

H₁: μ₁ - μ₂ > 0 (test a una coda)

Sappiamo:

x̄₁ - x̄₂ ∼ N(μ₁ - μ₂, 8²/m₁ + 8²/m₂)

Costruiamo la statistica test

Z = (x̄₁ - x̄₂) / √(8²/10 + 8²/20) ⇒ ∼ N(0, 1) sotto H₀

b) X_A∼N(μ_A, 150)

x_A = 191.25

(dal campione)

m₁ = 8

X_B∼N(μ_B, 150)

x_B = 198.125

m₂ = 8

H₀ : μ₁ − μ₂ = 0

H₁ : μ₁ − μ₂ ≠ 0

statistiche test

sotto H₀

Z = X₁ − X₂ / √(σ₁²/m₁ + σ₂²/m₂) ∼ N(0,1)

valore osservato di Z è z = -1.123

R = { z : |Z| > z_1-α/2 } α = 0.05

z_1-α/2 = 1.96

valore osservato di Z

⇒ accetto H₀ con α = 0.01

Se vi avessi dato α = 0.05, z_1-α/2 = 1.96

(z_α/2 = -1.96)

⇒ rifiutato H₀ a livello α = 0.05