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Esercizio 1.
a) L’applicazione \( f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \, f(n) = n + 1 \) è suriettiva?
b) L’applicazione \( f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \, f(n) = n + 1 \) è suriettiva?
Esercizio 2.
La funzione definita come segue
\( f(x) = x \) se \( x \in (0, 1] , \, f(x) = x - 1 \) se \( x \in (1, 2] \)
È suriettiva? È iniettiva? È invertibile? È monotona?
Esercizio 3.
Determinare il dominio delle seguenti funzioni
- \( f(x) = \sqrt{1-x} \)
- \( f(x) = \sqrt{x^2-3x+4} \)
- \( f(x) = \frac{1}{1-x^2} \)
- \( f(x) = \sqrt{|x| - 1} \)
- \( f(x) = \sqrt{|x|} \)
- \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \)
- \( f(x) = e^{\frac{1}{x}} \sqrt{\frac{1-x}{3+x}} \)
- \( f(x) = \log{\left(\frac{x^2 + x - 2 + |x^2 - x - 8|}{|x+3|}\right)} \)
Esercizio 4.
Risolvere le seguenti disequazioni
- \( 2^{2 - 4x + 3} > 1 \)
- \( \frac{1}{2^{2 - 4x + 3}} > 1 \)
- \( 3^{x^2} > 3 \)
- \( \log{(|x| - 1)} > 1 \)
- \( \log{(x^2 - 5x + 7)} > 0 \)
- \( \log{|2x (x-3)|} > 4 \)
Esercizio 5.
a) Determinare l’equazione della retta passante per i punti \( P_0 = (1, 0), P_1 = (3, 1) \).
b) Determinare l’equazione della circonferenza di centro \( C = (-1, 1) \) e raggio \( r = 2 \).
c) Determinare eventuali intersezioni tra la retta e la circonferenza.
1) f: ℤ → ℤ m → m+1È suriettiva ∀ y ∈ ℤ ∃ x ∈ ℤ : y = x+1 infatti x = y - 1 ∈ ℤ
f: ℕ → ℕ m → m+1non è suriettiva, infatti 1 ∈ ℕ e ∄ m ∈ ℕ : 1 = m+1infatti 0 ∉ ℕ
2) f(x) = { x x ∈ [0,1) { x - 1 x ∈ (1,2]
È suriettiva come applicazione f: [0,1] → [0,1]∀ y ∈ [0,1] ∃ x ∈ y = f(x), più precisamente abbiamo due valori delle x x1 = y e x2 = y + 1Non è iniettiva poiché f(3/2) = 1 = f(3/2) oppure f(1) = f(2) = 1
Non essendo iniettiva non è invertibile.Inoltre non è nemmeno monotona in [0,2]. f è strettamentecrescente in [0,1] ed in (1,2].Infatti ∀ x1
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