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ESERCITAZIONE 1
ℝ campo reale → estensione
2 operazioni
unico campo ordinato che ammette un estremo superiore
- PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
- PROPRIETÀ COMMUTATIVA
- elemento neutro
- opposto/reciproco
- PROPRIETÀ DI DISTRIBUTIVITÀ
Un campo è ordinato quando
- x < y ⟹ x + z < y + z
- x < y ⟹ xz < yz
PROPRIETÀ ESTREMO SUPERIORE
ogni sottoinsieme U di ℝ che sia limitato superiormente ammette sup(U)
esempio
U = {1, 2, 3}
L'estremo superiore di U è il più piccolo dei k tali che u ≤ k per ogni u ∈ U
Esercizio 1
dati 2 numeri reali positivi:
- la loro media aritmetica è a+b⁄2
- la media geometrica è √ab
qual'è più grande?
a+b > √ab
a2 + b2 > ab
a2 + b2 - 2ab>0
(a-b)2 > 0
a ≠ b
per a≠b 1) > 2)
per a=b 1) = 2)
Esercizio 2
dimostrare che ∀ ξ ∈R di po. 2ab ≤ ξa2 + 1⁄ξb2
2ab ≤ ξa2 + b2 (a-b)2 ≥ 0
Esercizio 3
Risolversi |x-2| < 1
- x-2 >0
- x-2 <1
- x=3
- x < 0
- -(x-2) < 1
- x=4
1 < x < 3
Esercizio 4
2x+3x >0
∀x in quanto 2x > 0 3x >0 vedi funzione
Esercizio 5
x2(x+1) > 0
x2 ≥ 0 x≠0
x > -1
es 5
risolvere
log1/3(x2-2x) > -1
x2-2x > 0
x > 0
x > 2
Dominio x < 0 ∨ x > 2
1/3 log1/3(x2-2x) < -11/3
Cambio segno perché log1/3 è una funzione decrescente
x2-2x < 3
x2-2x-3< 0
x1 , x2
soluzione -1 < x < 0 ∨ 2 < x < 3
es 6
dati i seguenti sottoinsiemi di R stabilire se questi ammettano massimo/estremo superiore o minimo/estremo inferiore
- A = {x ∈ N tc 4 < x2 ≤ 10} = {3}
- B = {x ∈ Q tc 4 < x2 ≤ 10}
- C = {x ∈ R tc 4 < x2 ≤ 10}
A ha massimo in 3 che è anche minimo
B non ha massimo ma minimo 2 è estremo inferiore mentre √10 è l’estremo superiore
C ha un massimo in √10 e un estremo inferiore in 2
es 7
disegnare nel piano complesso i seguenti insiemi:
A = { z ∈ ℂ | 1 ≤ |z| < 2 , π/6 < arg(z) < π/3 }
B = { z | z ∈ A }
C = { |z| z ∈ A }
es 3
|eizz+1| < 1
ea+ib = ea eib
z = a+ib
z* = a-b2 + 2iab
ea-b-2ab ei(ab-b2)
|ea+2ab ei(b2-a)2
e1| < 1 1<<1 significa ρ<1
e1-2ab < 1
1-2ab < 0
a b > 1 → iperbole equilatera
Es 1
Nota il grafico y=ln x tracciare il grafico delle funzioni:
a(x)=ln(1x1+1)
b(x)=ln(1x+1)
Es 2
Nota il grafico di: y=√x tracciare il grafico di:
y=1−√1−|x|1
cos2x + sen2x = 1
P(cosx, senx)
inversa di sen x
si prende senx x ∈ [-π/2, π/2]
sen: \[-π/2, π/2] ⟷ [-1, 1] arcsen (sen-1)
Dsenx ∈ ℝ f 2π periodica
cosx
cos [0, π] ⟷ [-1, 1] arcos (cos-1)
tan x = senx/cosx
tan [-π/2, π/2] ⟷ (-∞, +∞) atan
se x→x₀ lim f(x) = f(x₀) la funzione è continua
le funzioni elementari sono continue dove sono definite
x→x₀ lim f(x) + g(x) = x→x₀ lim f(x) + x→x₀ lim g(x)
x→x₀+ lim xα = 0 α●0 +∞ α●0 =
x→+∞ lim ax = +∞ a●1 1 a = 1 0 0 < a < 1
x→+∞ lim logₐx = +∞ a●1 -∞ 0 < a < 1
gerarchia degli infiniti:
- a●1
- α●0
- ax > xα > logₐx
α(x), β(x) infiniti:
se x→x₀ lim α(x)/β(x) = +∞ α inf. ordine superiore L L●0 α e β hanno lo stesso ordine
0 α inf. di ordine inferiore
gerarchia degli infinitesimi
- a●1
- α●0
- logₐx > xα > ax
α(x), β(x) infinitesimi
se x→x₀ lim α(x)/β(x) = +∞ α infinitesimo di ordine inferiore L L●0 α e β hanno lo stesso ordine
0 α infinitesimo di ordine superiore
definizione di asintotità:
per x→x₀ α(x) ～ β(x) quando x→x₀ lim α(x)/β(x) = 1
es 2
calcolare al variare di α ∈ ℝ
limx → 0+(3√(1 + senx) - 1) ∼ limx → 0+(1⁄3√x) = limx → 0+1⁄3x(α - 3) = { 0 α > 3 1⁄3 α = 3 +∞ α < 3
3√(1 + senx) - 1 = (1 + ½senx) -1 ∼ (½senx)¼ ∼ ½x
ln(cosx) = ln(1 + cosx - 1) ∼ cosx - 1 ∼ x2
es 3
calcolare al variare di α ∈ ℝ
Lα = limx → +∞ (x2 + x - 1)α lnx2 - 1⁄x2 + 1
Lα ∼ ∞0 → 0 se α ≤ 0 FI se α > 0
per α > 0
(x2 + x - 1)α ∼ x2α
log(x2 - 1)⁄(x2 + 1) = log⁄x2 - 1 ∼ - x2 - 1⁄x2 + 1 = - x2 Lα ∼ limx → +∞ x2α · (x)(-2) = -2 limx → +∞ x2α - 2 = { -∞ α > 1 -2 α = 1 0 0 < α < 1
unendo con la soluzione precedente
Lα = { -∞ se α > 1 -2 se α = 1 0 se α < 1
es 1
f(x) = (x - 2)√x/x + 1
Df:
x/x + 1 ≥ 0
N x ≥ 0
D x > -1
x < -1 ∧ x ≥ 0
(-∞; -1) ∪ [0; +∞)
- l'insieme di continuità della funzione f(x) è Df
- il dominio di f(x) non è simmetrico quindi: f(x) non è né pari né dispari
- f(x) è una funzione derivabile su Df - {0}, bisogna studiare la derivabilità in x = 0
zeri della funzione
f(x) = 0 → (x - 2) = 0 → x = 2
segno della funzione
f(x) > 0
(x - 2) > 0
√x/x + 1 > 0
x > 2
∀x ∈ Df
limiti
① limx → ∞ f(x) = limx → ∞ (x - 2) √x/x + 1:
∼ limx → ∞ (x - 2) = ∞
x + 1 ∼ x = 1
② limx → -1- (x - 2) √x/x + 1 = -∞
③ limx → 0 (x - 2) √x/x + 1 = 0-
④ limx → +∞ (x - 2) √x/x + 1 ∼ limx → +∞ (x - 2) = +∞
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