Esami svolti di Controlli automatici

Esame 15/01/2019

1. Dato il sistema descritto dalle seguenti matrici
   • A = [¹₀ ⁰₁ | ⁰₅ ⁰_-5]
   • B = [⁰₁]
   • C = [0 0 1]
   • D = 0
   • X_o = [¹₀ ¹₀]
2. Verificare se il sistema è raggiungibile e definire i sottospazi di raggiungibilità e di non raggiungibilità.
3. Verificare se il sistema è osservabile e definire i sottospazi di osservabilità e di non osservabilità.
4. Calcolare la risposta libera nello stato e in uscita con il modo iniziale.
5. Determinare quali modi sono osservabili in uscita e eccitabili in ingresso con il contemporaneamente osservabili ed eccitabili.
6. Determinare se il sistema è stabile esternamente.

7. a) R = co [B AB A²B] poiché n = 3 AB = [¹₀ ⁰₁ | ⁰₅ ⁰_-5] [⁰₁] = [⁰₀ | ¹₁] A²B = A·(AB) = [¹₀ ⁰₁ | ⁰₅ ⁰_-5] [⁰₀ | ¹₁] = [⁰₀ | ⁵_-2] R = [⁰₁ ⁰_-5 ⁰₂₅] det R = 0 X_r = { x∈X : x = d₁[²₁ ⁰₁] + β[¹₀ ⁰₁], d₁, β∈R }

8. b) O = co [C CA CB] poiché n = 3 det O = 0 X_o = { x∈X : x = γ[⁰₅ ¹₀ ^-2₆], γ∈R }

c) x_P(t) = W₁e^λ₁t¬u¯¯₁C₁ + W₂e^λ₂tu₂C₂ + W₃e^λ₃tu₃C₃ + e^λtu¯¯C¯ + x₀

AUTOVALORI

det(λI - A) = 0 → |λ + 1 -2 -1-1 λ + 5 00 0 λ+3|

det(λI - A) = (λ + 1) ((λ + 5)(λ + 2) - 2 (λ + 5))= (λ + 5)[(λ + 3)(λ + 2) - 2]= (λ + 5)(λ + 2)(λ + 3)= (λ + 5)(λ + 3)λ = 0

λ₁ = 0λ₂ = -3λ₃ = -5

AUTOVETTORI DESTRE

λ = 0 : (λ₁I - A) u₁ = 0 [1 0 -2 |u₁₁| [0]0 5 0 |u₂₁| = [0]0 0 3 |u₃₁| [0]

5u₂₁ = u₃₁ → U₁ = |20150|

λ₂ = 3 : (λ₂I - A) u₂ = 0 [-2 0 -2 |u₁₂| [0]-1 -1 0 |u₂₂| = [0]0 0 -2 |u₃₂| [0]

u₁₂ = u₃₂u₂₂ = u₃₂u₂ = p |111|

λ₃ = 5 : (λ₃I - A) u₃ = 0 [-6 0 -2 |u₁₃| [0]-1 0 -5 |u₂₃| = [0]0 0 -3 |u₃₃| [0]

-2u₁₃ = u₃₃u₂₃ = 0u₃ = q |10-6|

U = |-10 2 02 1 11/5 -1 -20 0 1|

CALCOLO C₁, C₂, C₃

x_P(0) = C₁u₁ + C₂u₂ + C₃u₃ = x₀

|0 1 0| = C₁|-10210| + C₂|21-10| + C₃|0101|

10C₁ + 2C₂ = 1 → 2C₂ = 1 - 10C₁C₁ - 2C₂ + C₃ = 05C₁ + 2C₂ = 1 5C₁ + 14C₁ = 115C₁ = 2 → C₁ = 2/15

2C₂ + 2/15 = (1 - 10C₁ = 4/3 = -1/3 → C₂ = -1/6

2/15 + 1/6 + C₃ = 0 → C₃ = -9/30 = 3/10

RISPOSTA LIBERA NELLO STATO

x_P(t) = e^λ₁tu₁C₁ + e^λ₂tu₂C₂ + e^λ₃tu₃C₃

= e^0t | -10210|2/15 [...]

RISPOSTA LIBERA DELL'USCITA

y_ϵ(t) = cˣ_P(t) = [0 0 1]|0.13C₁u₁0.93C₂u₂0C₃u₃| = |0 0 1|0[...] 301]ι[...] (pachetuc̦up) [0]0.67 + 0.93[ ([...] (pachetuc̦up) [0]

e) Considerando come funzione di trasferimento in catena diretta W(s), la funzione di trasferimento a ciclo chiuso sarà

1) Entrambi poli reali con h > 0 quindi il sistema è stabile esternamente

2)

Dato il sistema indicato in figura, progettare opportunamente un regolatore in modo che siano soddisfatte le seguenti specifiche

a) Errore di regime nullo per un ingresso a gradinob) Errore complessivo a regime permanente per l'ingresso e il disturbo indicati che sia ≤ 10%c) B₃ ω_r 5 Hz     d₁ M_φ ≥ 30°d) Al termine della sintesi indicare il M_r che si ottiene per il sistema a ciclo chiusoe) Calcolare l'uscita (in riposta a regime permanente) all'ingresso u(t)

a) Per avere errore nullo a regime a ingresso a gradino, il sistema deve essere di tipo 1, quindi è già soddisfatto perché prima un polo in s = 0

• b) |e_i | = |e_t | + |e_d | < 0,1

P(s) =

• c)

d) Affinché la specifica sul margine di fase sia rispettata, deve verificarsi

• M_φ ≤ 60 dB (poiché in corrispondenza di 6 dB, la fase è -150°, quindiMr = 180° - 150° = 30°)

• 4) Diagrammi simotici

k_f = 40,5 → 10 kf (de a 20 log_ω) = 20,4 dB

Rete a diff. per W(s)

• Binovio (s1)

Fase = -90°

Esame 08/11/2019

1. Dato il sistema descritto dalle seguenti matrici

   A=_[3x3] B=_[2x1] C=[1 1] D=0 X₀=[1 0]^T

   1. Stabilire per quale valore di α il sistema è stabile internamente asintotico.
   2. Verificare per quali valori di α il sistema è raggiungibile. Verificare gli eventuali valori di raggiungibilità in cui non è proprio α, e calcolare la risposta all'impulso. Confrontare l'uscita con i modi vettoriali.
   3. Determinare quali modi sono cancellabili in uscita, e calcolare la funzione di trasferimento.
   4. Determinare se è possibile definirne una rappresentazione nello spazio di stato che consenta solo modalità visibili e discrivere il corrispondente sistema.
   5. Valutare la stabilità esterna nello stato zero e calcolare la funzione di risposta per ingressi costanti passa-uscita.
   6. Considerare il sistema a ciclo chiuso con retroazione unitaria data da k da come si ha comportamento in catena durante la caduta esterna. Calcolare il coefficiente di facoltà estemi.

a) Il sistema è stabile internamente asintoticamente se tutti i polynomial hanno Re < 0

• det(λI-A)=det[(λI-A)] [(λ+1)(λ-1)]

  λ₁=-1

  λ₂=2

  α ≠ 0

b) Il sistema per essere raggiungibile è necessario che R abbia rango max

• R=[CB^2]=[1-1 0]CB=[10 0][α 0 0]

  → il rango non è pieno e non dipende dal parametro μ da α, il sistema non è raggiungibile

• Xr={X∈X : x=a[1 0]T , a∈R}[1 1] [X1]=[0] Xhv={x∈X: x=β[1 1], β∈R}

  X₁=X₂0=0

Nel caso di 0=2: λ₁ = -1, λ₂=2 autovettori destri

• λ=-1, (λI-A) u=0 =[0 -3][u11 u21]^T - [00]=u1=2[00]

• autovettori sinistri: V=U V=[0 0]

• UT = [1 1]V= [0 -1]^TX(0) = e^(-λt)