Esami svolti di Controlli automatici

Name: Esami svolti di Controlli automatici
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Author: Maris29

Revisionato il 08/07/2026

di Maris29

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Nel file ho inserito tutti gli esami svolti da me (con annessi spiegazioni, carte, grafici) degli anni 2019-2020 (ne troverete anche qualcuno del 2021). Gli esercizi vertono sui seguenti …

Esame Controlli automatici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Verdini Federica

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

71 pagine

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Esercitazione

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Estratto del documento

Esame del 15/01/2019

Introduzione al sistema

Dato il sistema descritto dalle seguenti matrici:

A =
_{^{[0 5 1]}}
_{^{[-1 0 -5]}}
_{^{[-1 0 -5]}}

B =
_^[0]
_^[1]
_^[0]

C = [0 0 1]
D = 0
X₀ =
_^[1]
_^[0]
_^[0]

Verificare se il sistema è raggiungibile e definire i sottospazi di raggiungibilità e di non raggiungibilità
Verificare se il sistema è osservabile e definire i sottospazi di osservabilità e di non osservabilità
Calcolare la risposta libera nello stato e in uscita con i modi calcolati
Determinare quali modi sono osservabili in uscita, eccitabili con ingressi e ingresso e contemporaneamente osservabili ed eccitabili
Determinare se il sistema è stabile esternamente

Analisi del sistema

a) Raggiungibilità del sistema

R = _^[C _^AB _^AB²] poiché n = 3

AB =
_{^{[-1 0 5]}}
_{^{[0 5 1]}}
_{^{[0 5 1]}}

A²B = A · (AB) =
_{^{[-1 0 5]}}
_{^{[0 5 1]}}
_{^{[-1 0 5]}}

R =
_{^{[0 -5 0]}}
_{^{[0 -5 0]}}
_{^{[0 -5 0]}}

det R = 0

X_r = {x ∈ X : x = _^[1] _^[0] _^[0], α ∈ ℝ}

X_rw = {x ∈ X : x = α _^[5] _^[-1] _^[0] + β _^[-25] _^[0] _^[0], α, β ∈ ℝ}

b) Osservabilità del sistema

O = _^[C _^CA] poiché n = 3

CA = [0 0 1]
_{^{[0 5 1]}}
_{^{[-1 0 -5]}}
_{^{[-1 0 -5]}}
[-3 0 6]

CA² = (CA) A
_{^{[0 5 1]}}
_{^{[0 5 1]}}
_{^{[-1 0 -5]}}
_{^{[-3 0 6]}}

X_o = {x ∈ X : x = α _^[-1] _^[-3] _^[-3], α ∈ ℝ}

X_no = {x ∈ X : x = γ _^[0] _^[2] _^[-6], γ ∈ ℝ}

Esame 15/01/2019

Dato il sistema descritto dalle seguenti matrici:

A =
_{^{[-1, 0, 1]}}
_{^{[0, -5, 0]}}
_{^{[0, 0, -3]}}

B =
_^[0]
_^[1]
_^[0]

C = [0, 0, 1]
D = 0
X₀ =
_^[1]
_^[0]
_^[1]

Verificare se il sistema è raggiungibile e definire i sottospazi di raggiungibilità e di non raggiungibilità
Verificare se il sistema è osservabile e definire i sottospazi di osservabilità e di non osservabilità
Calcolare la risposta libera nello stato e in uscita con i modi calcolati
Determinare quali modi sono osservabili, in uscita eccitabili con ingressi un maggiore e contemporaneamente debolmente osservabili ed eccitabili
Determinare se il sistema nel è riducibile e esternalmente immane

a) Raggiungibilità del sistema

R = CB AB B^T

AB =
_{^{[-1, 0, 1]}}
_{^{[0, -5, 0]}}
_{^{[0, 0, -3]}}

AB²B = A(AB) =
_{^{[-1, 0, 1]}}
_{^{[0, -5, 0]}}
_{^{[0, 0, -3]}}

R =
_{^{[0, 0, 0]}}
_{^{[0, 0, 0]}}
_{^{[0, 0, 0]}}

det R = 0

b) Osservabilità del sistema

O=
_{^{[0, 0, 0]}}
_{^{[0, 1, 0]}}

CB =
_{^{[0, 0, 0]}}

C B² =
_{^{[0, 0]}}
_{^{[1, 0]}}

X_o =
_{^{[0, 0]}}

• x_p(t) = ∑_i=1³ M_i e^λ_it ü_i C_i = ∑_i=1³ e^λ_it ü_i D_i x₀

Autovalori

det(NI-A) = 0 →
_{^{[ λ+1 0 0 ]}}
_{^{[ -1 0 0 ]}}
_{^{[ λ+5 0 ]}}
_{^{[ -1 λ 1 ]}}
_{^{[ 0 λ+1 -2 ]}}
_{^{[ 0 λ+5 λ+2 ]}}

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