Equazioni di secondo grado in un problema di realtà

Complementi di Algebra

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Esercitazione n^o17

• Problemi parametrici.
• Problema di realtà, con equazione di secondo grado

Complementi di Algebra

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Esercitazione n^o17

• Problemi parametrici.
• Problema di realtà, con equazione di secondo grado

Determina per quali valori del parametro reale a l’equazione, nell’incognita x,

3ax² + (2a + 1)x + 1 - a = 0, con a ≠ 0,

ha soluzioni che verificano le condizioni indicate:

1. le soluzioni sono opposte;
2. il prodotto delle radici è 2;
3. le soluzioni sono discordi;
4. il quadrato della differenza delle soluzioni è ²⁵/₉.

[ a) -¹/₂; b) ¹/₇; c) a < 0 ∨ a > 1; d) a = -1 ∨ a = ¹/₉ ]

Calcoliamo il discriminante dell’equazione.

Δ = (2a + 1)² - 12a(1 - a) = 4a² + 4a + 1 - 12a + 12a² = 16a² - 8a + 1 = (4a - 1)² ≥ 0

Posto a ≠ 0, per il quale l’equazione diventa di primo grado con soluzione - 1, per ogni altro valore di a l’equazione ha due soluzioni reali.

1. Se le soluzioni sono opposte la loro somma è zero. Consideriamo l’equazione data, per a ≠ 0, si ha x² + ^{2a + 1}/_3a x + ^{1 - a}/_3a = 0 e la somma delle soluzioni è -^{2a + 1}/_3a

   Quindi: -^{2a + 1}/_3a = 0 → a = -¹/₂.

2. Il prodotto delle radici è p = ^{1 - a}/_3a, quindi ^{1 - a}/_3a = 2 → 1 - a = 6a → a = ¹/₇.
3. Se le radici sono discordi il loro prodotto è negativo quindi poniamo . ^{1 - a}/_3a < 0 → a < 0 ∨ a > 1.
4. . (x₁ - x₂)² = ²⁵/₉ → x₁² - 2x₁x₂ + x₂² = ²⁵/₉ → x₁² + x₂² + 2x₁x₂ - 2x₁x₂ = ²⁵/₉ →

→ (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = ²⁵/₉

→ (^{-2a + 1}/_3a)² - 4 ∙ ^{1 - a}/_3a = ²⁵/₉ →

^{4a2 + 4a + 1 - 12a + 12a2}/_9a² = ^25a2/_9a² →

→ ² - + 1 = 0 → =.

I valori di richiesti sono ₁ = -1, ₂ =.

(*) Osserviamo che il quadrato della differenza delle radici di un’equazione del tipo.