Equazioni della similitudine e verifica di un'omotetia

Complemetni di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi Svolti

• Equazioni di una similitudine
• Verificare un’omotetia

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Problema

Scrivi le equazioni della similitudine diretta che trasforma il segmento di estremi AB nel segmento di estremi A’B’.

Verifica che la similitudine si ottiene componendo una rotazione con centro in O e un’omotetia di centro O.

A(-2; 2) e B(4; 4)

A’(3; 3) e B’(6; -6)

Applichiamo le equazioni della similitudine diretta

{x' = ax - by + c

y' = bx + ay + c'

e calcoliamo a, b, c e c' in modo che trasformi il segmento AB nel segmento A’B’:

{3 = 2a - 2b + c

3 = -2b + 4a + c'

-6 = 4b + 4a + c'

La similitudine diretta che trasforma il segmento AB nel segmento A’B’ ha equazioni

{x' = (3/2)y

σ: {y' = (-3/2)x

e il rapporto di similitudine:

k = √(a² + b²) = (3/2).

Confrontando le equazioni di σ con quelle di una rotazione di centro O e angolo α, siamo interessati alle rotazioni per cui cos α = 0.

Determiniamo le equazioni della rotazione di centro O e angolo -π/2 ricordando che sin(-π/2) = -1 e cos(-π/2) = 0.

r(O; -π/2): {x' = y

y' = -x