Ellisse - scrivere l'equazione riferita al centro e ai suoi assi passante per due punti A e B

Geometria Analitica nel piano

Scrivere l’equazione dell’ellisse riferita al centro e ai sui assi passante per due punti A e B

Geometria Analitica nel piano

Scrivere l'equazione dell'ellisse

riferita al centro e ai sui assi

passante per due punti A e B

Scrivi l’equazione dell’ellisse, riferita al centro e ai suoi assi, passante per i punti A(1;-3) e B(2;-2) determinando semiassi e fuochi

Svolgimento

L’ellisse avrà equazione ^x2/_a² + ^y2/_b² = 1. Poiché i punti A e B devono appartenere alla curva, sia le coordinate di A sia quelle di B devono soddisfare l’equazione dell’ellisse

{ ¹²/_a² + ^(-3)2/_b² = 1 ²²/_a² + ^(-2)2/_b² = 1

—→ {¹/_a² + ⁹/_b² = 1 ⁴/_a² + ⁴/_b² = 1

—→ {¹/_a² + ⁹・¹/_b² = 1 ⁴/_a² + ⁴・¹/_b² = 1

Per risolvere questo sistema nelle incognite a² e b² conviene ricorrere a un artificio; poniamo

¹/_a² = h e ¹/_b² = k con h, k > 0

Il sistema diventa

{ h + 9k = 1 4h + 4k = 1

—→ { h = ⁵/₃₂ k = ³/₃₂

Pertanto avremo

¹/_a² = ⁵/₃₂ —→ a² = ³²/₅ e ¹/_b² = ³/₃₂ —→ b² = ³²/₃

L’equazione richiesta è perciò

^x2/₃₂/₅ + ^y2/₃₂/₃ = 1 —→ ^5x2/₃₂ + ^3y2/₃₂ = 1 —→ 5x² + 3y² = 32

I semiassi sono

a = √³²/₅ = 4√²/₅ = ⁴/₅√10 ≃ 2,53

b = √³²/₃ = 4√²/₃ = ⁴/₃√6 ≃ 3,27

Essendo a < b, i fuochi appartengono all’asse y ed è

c² = b² - a² = ³²/₃ - ³²/₅ = ⁶⁴/₁₅ —→ c = ⁸/₁₅√15

I fuochi sono pertanto i punti

F₁ ( 0 ; -⁸/₁₅√15 ) e F₂ ( 0 ; ⁸/₁₅√15 )