Ellisse - definizioni di base e applicazione numerica

Geometria Analitica nel piano

Definizione di ellisse

Ellisse riferita al centro e agli assi

Geometria Analitica nel piano

Definizione di ellisse

Ellisse riferita al centro e agli assi

RICORDIAMO LA TEORIA

• Ellisse: è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
  • F₁, F₂ fuochi
  • PF₁ + PF₂ = QF₁ + QF₂
  • F₁F₂ distanza focale
• Ellisse riferita al centro e agli assi con i fuochi sull’asse x
  • x²/a² + y²/b² = 1 con a > b > 0
  • F₁F₂ = 2c (0 < c < a)
  • A₁A₂ = 2a (asse maggiore)
  • B₁B₂ = 2b (asse minore)
  • c² = a² - b²
  • F₁(-√(a² - b²); 0)
  • F₂(√(a² - b²); 0)
  • A₁(-a; 0), A₂(a; 0) B₁(0; -b), B₂(0; b) vertici
• Ellisse riferita al centro e agli assi con i fuochi sull’asse y
  • x²/a² + y²/b² = 1 con 0 < a < b
  • F₁F₂ = 2c (0 < c < b)
  • A₁A₂ = 2a (asse minore)
  • B₁B₂ = 2b (asse maggiore)
  • c² = b² - a²
  • F₁(0; -√(b² - a²))
  • F₂(0; √(b² - a²))
  • A₁(-a; 0), A₂(a; 0) B₁(0; -b), B₂(0; b) vertici

Eccentricità di un’ellisse: è il rapporto tra la distanza focale e l’asse maggiore. Risulta 0 < e < 1

N.B. Casi limite:

• per e = 0 l’ellisse diventa una circonferenza (a = b);
• per e = 1 l’ellisse degenera nell’asse maggiore.

Posizioni reciproche tra retta ed ellisse: valgono le considerazioni fatte per la parabola.

Tangenti a un’ellisse: valgono le considerazioni fatte per la parabola.

Formula di sdoppiamento: la tangente a un’ellisse di equazione

x²/a² + y²/b² = 1 in un suo punto

T(x₁; y₁) ha equazione

x₁x/a² + y₁y/b² = 1

Esercizio svolto

Un’ellisse ha equazione x² + 12y² = 9. Determinarne gli assi, la distanza focale, i vertici e i fuochi.

Svolgimento

Trasformiamo l’equazione data nella forma canonica

(x² + 12y² = 9) → (x²/9 + 12y²/9 = 9/9) → (x²/9 + 4/3y² = 1)

dividiamo per 9 entrambi i membri

Quindi risulta

a² = 9 → a = 3

b² = 3/4 → b = √¾

Poiché a > b, i fuochi sono sull’asse x e quindi:

• L’asse maggiore misura 2a = 6;
• L’asse minore misura 2b = √3.

Dalla relazione c² = a² − b² si ricava

c² = 9 − 3/4 = 33/4 → c = √(33/4)

e quindi la distanza focale è 2c = √33.

I vertici dell’ellisse sono i punti

A₁(−3; 0) A₂(3; 0)

B₁(0; −√3/2) B₂(0; √3/2)

I fuochi sono F₁(−√33/2; 0) e F₂(√33/2; 0)