Ellisse, equazioni delle tangenti in un punto

Geometria Analitica nel piano

Equazioni delle tangenti in un puntoIntersezione ellisse con circonferenza

Geometria Analitica nel piano

Equazioni delle tangenti in un puntoIntersezione ellisse con circonferenza

Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(3; 0) all’ellisse di equazione

^x2/₉ + ^y2/₄ = 1

Svolgimento

La generica retta per P ha equazione y = m(x − 3).

Poniamo a sistema l’equazione della retta con quella dell’ellisse; l’equazione risolvente dovrà avere il discriminante nullo (condizione di tangenza)

{ y = m(x − 3) 4x² + 9y² = 36

⟹ (9m² + 4)x² − 542mx + 162m² − 36 = 0 ⟹ Δ = 0 ⟹ m = ± ²/₃

Le due tangenti richieste hanno equazioni y = − ²/₃ (x − 3) e y = ²/₃ (x − 3).

Posizione reciproca

Determina i punti di intersezione dell’ellisse di equazione 3x² + y² = 12 con la circonferenza avente centro nell’origine e raggio di misura 10.

Svolgimento

L’equazione della circonferenza è x² + y² = 10.

Per determinare i punti di intersezione tra l’ellisse e la circonferenza date, occorre risolvere il sistema

{ 3x² + y² = 12 x² + y² = 10

Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima, si ottiene, ricordando il principio di riduzione

{ 3x² + y² = 12 x² + y² = 10 2x² // = 2 ⟹ {x² = 1 x² + y² = 10

⟹ {x² = 1 y² = 9 ⟹ {x = −1 y² = 9 ∨ x = +1 y² = 9

⟹ {x = −1 y = −3 ∨ x = −1 y = +3 ∨ x = +1 y = −3 ∨ x = +1 y = +3

Si conclude che ellisse e circonferenza si intersecano nei quattro punti di coordinate (−1; −3) (−1; 3) (1; −3) (1; 3)