Domande esame Dispositivi e circuiti a microonde

Diagramma di Brillouin

1. Diagramma di Brillouin e potenza di modo.
2. Componenti trasversali in funzione di quelle longitudinali e soluzione dell’equazione di Helmholtz.
3. Matrici di scattering e sue proprietà.

Domanda 1

DIAGRAMMA DI BRILLOUIN

Questo diagramma rappresenta la relazione tra k_z e ω.

k_z = N √(k² - k_t,mn²) = N√ε₄√(ω² - ω_t,mn²)

Modo Viaggiante

Se si ha quando: k² > k_t,mn²

k₂² = k² - k_t,mn²

^{(divido per k_t,mn²)} → k₂²/k_t,mn² = k²/k_t,mn² - 1

    k₂²/k_t,mn² - k²/k_t,mn² = -1 → k²/k_t,mn² - k₂²/k_t,mn² = 1 → k = ω√ε_µ

    ^{(equazione iperbole)}

ω_t,mn = ω_t,mn√ε_µ

ω_t,01 ω_t,10 ω_t,00 tan θ = 1/√ε₄ e (velocità delle linee)

k_z = √ε₄√(ω² - ω_t,mn²) → (divido per ω²) → k_z = √ε₄√(1 - ω_t,mn²/ω²)

MODO EVANESCENTE

si ha quando: k² < k²_tmin

k_z² = -β²

λ² = n²_tmin - k²

→ λ² = k²_tmin - k²

(quadrato nodi evanescenti) (quadrato nodi viaggianti)

ω

ordini d’ellisse

ω₁₁₁

ω₁₀₁

ω₀₁₀

*

k_z

α²

Oss λ non rappresenta le k_z negativos

Oss la parte segnata * comprende i segnali non trasmissibili delle strutture

(Non ci saranno modi viaggianti nella struttura)

→ procediamo adesso dividendo l’equazione precedente per k²_tmin

α² = 1 - k²/_k²tmin

eq. ellisse

Adesso facendo l’unione dei due quadrati per i rispettivi modi,

otteniamo il diagramma di Brillouin.

(modi evanescenti) (modi viaggianti)

ω

ω₁₁₂

ω₁₀₁

ω₀₁₀

α²

*

→ k_x

Assunoto

N.B fissato un valore di frequenza f fuori dal modo fondamentale (ω₁₀)

avrà un numero finito di modi viaggianti e infinite di modi evanescenti.

MODO DI CUT OFF → k² = k²_e1 → k_z = 0

Z_mn = ^{E_ymn TH2}/_Hymn TH² = ^E_ymn/_Hymn TH²

allora:

P_mn^TH = ¹/₂ 2πTHZ ∫∫ |H_fmn|² + |H_nmn|² dndy

2πTHZ = k_z/^wc

• Se il modo è viaggiante la potenza che porta è pot. reale
• Se il modo è evanescente è pot. immaginaria
• Se il modo è cut-off è nulla.

Attivando gli stessi calcoli nel caso T_mn² otteniamo che viene cancellati.

Premio:

E̅x = E̅x(x,y) e^{-j kz z} E̅y = E̅y(x,y) e^{-j kz z} E̅z = E̅z(x,y) e^{-j kz z} blocco x il campo rispettivo.

Inseriamo da I sistema 1ª equazione, e sostituiamo:

∂/∂y (E̅z e^{-jkz z}) - ∂/∂z (E̅y e^{-jkz z}) = -jωμ (H̅x e^{-jkz z})

scriviamo:

-∂E̅z / ∂y^-jkz E̅y e^{-jkz z} = -jωμ H̅x e^{-jkz z}

⇒ ∂/∂y E̅z + jkz E̅y = -jωμ H̅x  (1)

I sistema 2ª Equazione:

∂/∂x E̅z + jkz E̅x = jωμ H̅y  (2)

I sistema 3ª Equazione:

∂/∂x E̅y - ∂/∂y E̅x = -jωμ H̅z  (3)

II sistema 1ª Equazione:

∂/∂y H̅z + jkz H̅y = 3jωε E̅x  (4)

II sistema 2ª Equazione:

∂/∂x H̅z + jkz H̅x = -jωε E̅y  (5)

quindi:

Ē_z deve soddisfare

∇²Ē_z + k_t²Ē_z = 0

con Ē_z = Ē_z e^-jk_zz

Ħ_z deve soddisfare

∇²Ħ_z + k_t²Ħ_z = 0

con Ħ_z = Ħ_z e^jk_zζ

Ora poniamo la soluzione generale di

U = 0

Usiamo la tecnica di separazione delle variabili:

U = U(x, y) → X(x) Y(y)

(∂²/∂x² + ∂²/∂y²) U + k_t²U = 0 →

(∂²/∂x² + ∂²/∂y²) (X(x) Y(y)) + k_t² (X(x) Y(y)) = 0

∂²X/∂x² + ∂²Y/∂y² + k_t² XY = 0

Y d²X/dx² + X d²Y/dy² + k_t² XY = 0 → Y d²X/dx² + X d²Y/dy² = -k_t² XY

1/X d²X/dx² + 1/Y d²Y/dy² = -k_t²

1/X d²X/dx² =

1/Y d²Y/dy² = -k_t²

ˁ k_nx² + k_ny² = k_t²

le funzioni saranno del tipo:

X(x) = e₁ cos k_x x + D₁ sen k_x x

Y(y) = e₂ cos k_y y + D₂ sen k_y y

Dove e₁, e₂, D₁, D₂, k_x, k_y → devono essere determinati assegnando le condizioni al contorno.

Ulteri cambiamenti ci dicono che le pareti delle guida sono metalliche, supponendo z = ∞ → Ē_g = 0

=> (S) = (H)(C₁)^-1

Introduco 2 proprietà:

Quindi scrivo (S) come:

(S) = [(C̃)_-^-1](H) = [(C̃^-1)](H) = (C)^-1(H)

(S) = (C₁)^-1(H)

Quindi dobbiamo dimostrare che

(S) = (S) => (H)(C₁)^-1 = (C₁)^-1(H)

Considero:

(H)(α) = (α)(H)

[(Z_-) - (U)][(Z_-) + (U)] = [(Z_-) + (U)][(Z_-)(U)]

(Z)(Z) + (Z)(U) - (U)(Z) - (U)(U)(Z)

(Z)(Z) - (U) = (Z)(Z) - (U)

Essendo vera questa relazione, posso moltiplicare ambo i membri dell’equazione a destra × (α)₁^-1:

(H)(α)(α)^-1 = (α)(H)(α)^-1

(H) = (G)(H)(C)^-1

Adesso moltiplico ambo i membri, e semplifico, per (α)^-1

(C)^-1(H) = (G)^-1(G)(H)(C)^-1